发表机构
The Ohio State University; Oregon State University; POSTECH（俄亥俄州立大学; 俄勒冈州立大学; 浦项科技大学）
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本文研究 Hardy 域中次多项式序列的加权遍历平均，证明了对数平均的逐点收敛及多重联合遍历性，并给出具体应用。
AI 中文摘要
我们针对形如 \\( (\lfloor a(n) \rfloor)_{n \in \mathbb{N}} \\) 的序列建立了新的加权遍历平均逐点收敛结果，其中 \\( a(x) \\) 是 Hardy 域中的一个次多项式函数。例如，我们建立了沿形如 \\( (\lfloor n^k + \log^{c} n \rfloor)_{n \in \mathbb{N}} \\) 的序列的对数平均的逐点收敛，其中 \\( k \in \mathbb{N} \cup \{0\} \\) 且 \\( c > 0 \\)。这一结果应与以下事实形成对照：对于 \\( k=0 \\) 或 \\( k \geq 2 \\) 且 \\( c>0 \\) 足够小（依赖于 \\( k \\)），沿这些序列的标准遍历平均无法逐点收敛。我们还获得了沿慢 Hardy 域函数的多重加权遍历平均的逐点联合遍历性结果。例如，由我们的结果可知，对于 \\( c>0 \\) 以及任意 \\( f, g \in L^{\infty} (\lambda) \\)，\\( \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\log N } \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} f(T_b^{\lfloor \log^c n \rfloor}x) \\, g(T_G^{\lfloor \log^c n \rfloor} x) = \int f \\, d \lambda \cdot \int g \\, d \mu_G \\) 对几乎所有的 \\( x \in [0,1] \\) 成立，其中 \\( T_b:[0,1] \rightarrow [0,1] \\) 是乘以 \\( b \\) 的映射，定义为 \\( T_b x = bx \\, \bmod \\, 1 \\)，而 \\( T_G:[0,1] \rightarrow [0,1] \\) 是 Gauss 映射，定义为 \\( T_G(x) = \frac{1}{x} \bmod \\, 1 \\)（\\( x \ne 0 \\)）且 \\( T_G (0) =0 \\)。这里 \\( \lambda \\) 是 \\( [0,1] \\) 上的 Lebesgue 测度，\\( \mu_G \\) 是 \\( [0,1] \\) 上的 Gauss 测度，由 \\( \mu_G (A) = \frac{1}{ \log 2} \int_A \frac{1}{1+x} dx \\) 给出，其中 \\( A \subset [0,1] \\) 为任意可测集。
英文摘要
We establish new pointwise convergence results for weighted ergodic averages along sequences of the form \( (\lfloor a(n) \rfloor)_{n \in \mathbb{N}}, \) where $a(x)$ is a subpolynomial function in a Hardy field. For example, we establish pointwise convergence of logarithmic averages along sequences of the form $(\lfloor n^k + \log^{c} n \rfloor)_{n \in \mathbb{N}}$, where $k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ and $c > 0$. This result should be juxtaposed with the fact that either for $k=0$ or for $k \geq 2$ and for sufficiently small $c>0$ (depending on $k$), the standard ergodic averages along these sequences fail to converge pointwise. We also obtain pointwise joint ergodicity results for multiple weighted ergodic averages along slow Hardy field functions. For example, it follows from our results that for $c> 0$ and for any $f, g \in L^{\infty} (λ)$, \begin{equation*} \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\log N } \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} f(T_b^{\lfloor \log^c n \rfloor}x) \, g(T_G^{\lfloor \log^c n \rfloor} x) = \int f \, d λ\cdot \int g \, d μ_G \quad \text{for almost every } x \in [0,1], \end{equation*} where $T_b:[0,1] \rightarrow [0,1]$ is the times-$b$ map defined by $T_b x = bx \, \bmod \, 1 $ and $T_G:[0,1] \rightarrow [0,1]$ is the Gauss map defined by $T_G(x) = \frac{1}{x} \bmod \, 1$ for $x \ne 0$ and $T_G (0) =0$. Here $λ$ is the Lebesgue measure on $[0,1]$ and $μ_G$ is the Gauss measure on $[0,1]$ given by $μ_G (A) = \frac{1}{ \log 2} \int_A \frac{1}{1+x} dx$ for any measurable set $A \subset [0,1]$.
