发表机构
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University; Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications; School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University; Départment de Mathématiques et Statistique, Université de Montréal（清华大学丘成桐数学科学中心; 北京国际数学研究中心; 西安交通大学数学与统计学院; 蒙特利尔大学数学与统计学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明全模群上Hecke特征值和的非平凡上界，在典型情况下得到$o(\sqrt{x})$，并通过Cogdell--Michel概率模型确定低阶矩的数量级。
AI 中文摘要
设 $\mathcal{H}_k$ 表示全模群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 上权为 $k$ 的归一化全纯 Hecke 尖形式集合。对每个 $f\in\mathcal{H}_k$，令 $\lambda_f(n)$ 表示归一化 Hecke 算子 $T_n$ 对应的特征值。我们证明了如下和式的非平凡上界：\\[\sum_{f \in \mathcal{H}_k}\omega_f \left|\sum_{n \leq x} \lambda_f(n)\right|^{2q},\\] 其中 $k$ 为正偶数，$1\leqslant x\leqslant k$，$0\leqslant q \leqslant 1$，且 $ \omega_f = \frac{\Gamma(k-1)} {(4\pi)^{k-1}\langle f,f\rangle} = \frac{2\pi^2} {(k-1)L(1,\mathrm{Sym}^2 f)}. $ 我们的估计在 $1\leqslant x\leqslant k^{0.99}$ 时匹配猜想的最优上界。特别地，当 $x$ 和 $k/x$ 都随 $k$ 趋于无穷时，我们得到 \\[\sum_{f \in \mathcal{H}_k}\omega_f \left|\sum_{n \leq x} \lambda_f(n)\right|=o(\sqrt{x}).\\] 我们还证明了与 $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 的 Hecke--Maass 尖形式相关的 Hecke 特征值和的低阶矩的上界。我们通过 Cogdell--Michel 提出的概率模型研究这些和。我们还确定了该概率模型的低阶矩的数量级，这等价于在极限情况下确定 Hecke 特征值和的低阶矩的数量级。
英文摘要
Let $\mathcal{H}_k$ denote the set of normalized holomorphic Hecke cusp forms of weight $k$ for the full modular group $ \mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. For each $f\in\mathcal{H}_k$, let $λ_f(n)$ denote the corresponding eigenvalue of the normalized Hecke operator $T_n$. We prove nontrivial upper bounds for \[\sum_{f \in \mathcal{H}_k}ω_f \left|\sum_{n \leq x} λ_f(n)\right|^{2q},\] where $k$ is a positive even integer, $1\leqslant x\leqslant k$, $0\leqslant q \leqslant 1$ and $ ω_f = \frac{Γ(k-1)} {(4π)^{k-1}\langle f,f\rangle} = \frac{2π^2} {(k-1)L(1,\mathrm{Sym}^2 f)}. $ Our estimates match the conjecturally sharp upper bound for $1\leqslant x\leqslant k^{0.99}$. In particular, whenever both $x$ and $k/x$ tend to infinity with $k$, we obtain \[\sum_{f \in \mathcal{H}_k}ω_f \left|\sum_{n \leq x} λ_f(n)\right|=o(\sqrt{x}).\] We also prove upper bounds for low moments of sums of Hecke eigenvalues associated with Hecke--Maass cusp forms for $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. We study these sums through the probabilistic model proposed by Cogdell--Michel. We also determine the order of magnitude of low moments of this probabilistic model, which is equivalent to determining the order of magnitude of low moments of Hecke eigenvalue sums in the limit.
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