AI 中文总结
本文否证了 Kusner 关于 $\ell_p$ 度量空间中等距集最大基数的猜想对于所有 $p>4$ 成立，通过构造 $\mathbb{R}^{8m-2}$ 中 $8m$ 个点的等距集，并结合先前结果完整解决了该猜想。
AI 中文摘要
等距集是度量空间中两两距离均相等的点集。Kusner 猜想：对于每个 $1<p<\infty$，在带有 $\ell_p$ 度量的 $\mathbb{R}^n$ 中等距集的最大基数为 $n+1$。我们否证了所有 $p>4$ 的猜想。特别地，对于每个这样的 $p$，我们定义 $m=m(p)$ 并在 $\mathbb{R}^{8m-2}$ 中构造一个由 $8m$ 个点组成的等距集。此前，Swanepoel 否证了 $1<p<2$ 的猜想，而 Ge、Xu 和 Zhou 证明了该猜想在 $2\le p\le 4$ 时成立。将这些先前结果与本文的主要定理相结合，解决了所有 $1<p<\infty$ 的 Kusner 猜想。
英文摘要
An equilateral set is a set of points in a metric space whose pairwise distances are all equal. Kusner conjectured that the maximum cardinality of an equilateral set in $\mathbb{R}^n$ with the $\ell_p$ metric is $n+1$ for every $1<p<\infty$. We disprove the conjecture for all $p>4$. In particular, for every such $p$, we define $m=m(p)$ and construct an equilateral set of $8m$ points in $\mathbb{R}^{8m-2}$. Previously, Swanepoel disproved the conjecture for $1<p<2$, while Ge, Xu, and Zhou showed that it holds for $2\le p\le 4$. Combining these prior results with the paper's main theorem resolves Kusner's conjecture for all $1<p<\infty$.
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