快速张量变换与环值正交矩阵：在密码学中的应用
Fast tensor transforms and ring-valued orthogonal matrices: an application to cryptography
- Institut de Mathématiques d’Orsay, CNRS, Université Paris-Saclay（奥赛数学研究所，法国国家科学研究中心，巴黎萨克雷大学）
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AI总结：
本文提出快速张量变换算法，将张量积运算成本从 q^{2n} 降至 nq^n，并构造环上正交矩阵，应用于对称密码系统，加密 q^n 字节块。
AI中文摘要：
我们将快速傅里叶变换和快速沃尔什变换算法推广到交换环上 $n$ 个任意 $q\times q$ 矩阵的张量积，将应用此类张量积的代价从 $q^{2n}$ 次环运算降低到 $nq^{n}$ 次。然后，我们从给定的首行出发，给出交换幺环上平方正交矩阵的显式构造，并将此构造特化到 ${\mathbb Z}/256{\mathbb Z}$ 上。结合这两个要素，我们提出一种对称密码系统，其中秘密密钥决定 ${\mathbb Z}/256{\mathbb Z}$ 上的 $n$ 个正交矩阵，其张量积加密 $q^n$ 字节的数据块；加密和解密均利用快速张量积算法。我们给出了三个实现示例。
英文摘要：
We present a generalization of the Fast Fourier and fast Walsh transform algorithms to tensor products of $n$ arbitrary $q\times q$ matrices over a commutative ring, reducing the cost of applying such a tensor product from $q^{2n}$ to $nq^{n}$ ring operations. We then give an explicit construction of square orthogonal matrices over a commutative unitary ring, starting from a prescribed first row, and specialize this construction to ${\mathbb Z}/256{\mathbb Z}$. Combining these two ingredients, we propose a symmetric cryptosystem in which the secret key determines~$n$ orthogonal matrices over ${\mathbb Z}/256{\mathbb Z}$ whose tensor product encrypts a block of $q^n$ bytes; encryption and decryption both exploit the fast tensor product algorithm. We give three examples of implementations.
