发表机构
School of Mathematical Sciences and Shanghai Key Laboratory for Contemporary Applied Mathematics, Fudan University（复旦大学数学科学学院与当代应用数学上海市重点实验室）
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该研究确定了 Erdős 鲁棒多项式插值问题的最优指数尺度，并给出了 Chebyshev–Lobatto 网格的前导系数，通过结合 Bernstein 空间估计与周期符号构造证明了最优性。
AI 中文摘要
我们确定了 Erdős 鲁棒多项式插值问题中的最优指数尺度，并识别了 Chebyshev–Lobatto 网格的前导指数系数。给定 $C>0$ 和 $0\le\rho<1$，令 $H=C/(1-\rho)$。我们证明，在 $[-1,1]$ 中任意 $n\ge n_0$ 个节点的配置，都存在符号数据，使得任何次数至多为 $(1+\epsilon)n$ 且一致范数至多 $C$ 的多项式在超过 $\epsilon n$ 个节点上的误差大于 $\rho$。可以选择 $\epsilon\ge e^{-A(1+H)}$ 和 $n_0\le e^{A(1+H)}$，其中 $A$ 是绝对常数，并且匹配的上界表明指数阶是最优的。对于限制在 Chebyshev–Lobatto 网格上的相同障碍，最优参数 $\epsilon_{\mathrm{Ch}}(C,\rho)$ 满足当 $H\to\infty$ 时，$\log(1/\epsilon_{\mathrm{Ch}}(C,\rho))=\frac{\pi}{2}H+O(\log(H+1))$。证明结合了 Bernstein 空间中的有限插值估计、周期符号构造和平均化方法。我们还建立了随机符号的障碍以及节点角度扰动下的稳定性结果。
英文摘要
We determine the optimal exponential scale in Erdős's robust polynomial interpolation problem and identify the leading exponential coefficient for Chebyshev--Lobatto grids. Given $C>0$ and $0\leρ<1$, put $H=C/(1-ρ)$. We prove that every configuration of $n\ge n_0$ nodes in $[-1,1]$ admits sign data for which every polynomial of degree at most $(1+ε)n$ and uniform norm at most $C$ has error greater than $ρ$ at more than $εn$ nodes. One may choose $ε\ge e^{-A(1+H)}$ and $n_0\le e^{A(1+H)}$, where $A$ is an absolute constant, and a matching upper bound shows that the exponential order is optimal. For the same obstruction restricted to Chebyshev--Lobatto grids, the optimal parameter $ε_{\mathrm{Ch}}(C,ρ)$ satisfies $\log(1/ε_{\mathrm{Ch}}(C,ρ))=\fracπ{2}H+O(\log(H+1))$ as $H\to\infty$. The proofs combine finite interpolation estimates in Bernstein spaces with periodic sign constructions and averaging. We also establish obstructions for random signs and stability under angular perturbations of the nodes.
Comments19 pages
