发表机构
UFRJ（里约热内卢联邦大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该论文证明了大象随机游走在超扩散区域的局部极限定理，并否证了最终对数凹性猜想，给出了阈值区间及数值近似。
AI 中文摘要
设 $(S_n)_{n\geq 1}$ 为超扩散区域中的一维大象随机游走（ERW），其记忆参数 $p\in(3/4,1)$，首步偏差 $\mathbb{P}(S_1=1)=q$。令 $a=2p-1\in(1/2,1)$。若 $f_{q,a}$ 表示超扩散极限 $L_{q,a}$ 的密度，我们证明一致局部极限定理 $\lim_{n\to\infty}\sup_{j\in\mathbb{Z},\\,j\equiv n\\;(\mathrm{mod}\\;2)}\left|\frac{n^a}{2}\mathbb{P}(S_n=j)-f_{q,a}(j/n^a)\right|=0$。证明使用了 $S_n$ 概率质量函数的精确递推关系，分别得到 p.m.f. 及其一阶离散差分的一致 $O(n^{-a})$ 和 $O(n^{-2a})$ 界。随后，我们否证了 Guérin、Laulin、Raschel 和 Simon 关于最终对数凹性的猜想。记 $L_a=L_{1,a}$ 和 $f_a=f_{1,a}$，令 $a_{\rm ev}$ 为最终对数凹性阈值，$a_\star$ 为 $f_a$ 对数凹性的上失败阈值。他们的结果蕴含 $a_{\rm ev}\geq(\sqrt{5}-1)/2$，我们证明 $(\sqrt{5}-1)/2\leq a_{\rm ev}\leq\min\{0.80399,a_\star\}\leq a_\star<0.918$。界 $a_\star<0.918$ 由 $L_a$ 的前三阶精确矩和中心化对数凹分布的尖锐偏度不等式得出，而 $a_{\rm ev}\leq0.80399$ 由精确 p.m.f. 递推的认证有限阶分析得出。直接数值迭代提供证据表明 $a_{\rm ev}\approx0.80399$，等价地 $p_{\rm ev}\approx0.902$。
英文摘要
Let $(S_n)_{n\geq 1}$ be the one-dimensional Elephant Random Walk (ERW) in the superdiffusive regime, with memory parameter $p\in(3/4,1)$ and first-step bias $\mathbb{P}(S_1=1)=q$. Set $a=2p-1\in(1/2,1)$. If $f_{q,a}$ denotes the density of the superdiffusive limit $L_{q,a}$, we prove the uniform local limit theorem $\lim_{n\to\infty}\sup_{j\in\mathbb{Z},\,j\equiv n\;(\mathrm{mod}\;2)}\left|\frac{n^a}{2}\mathbb{P}(S_n=j)-f_{q,a}(j/n^a)\right|=0$. The proof uses the exact recurrence for the probability mass function of $S_n$, yielding uniform $O(n^{-a})$ and $O(n^{-2a})$ bounds for the p.m.f. and its first discrete differences, respectively. We then disprove a conjecture of Guérin, Laulin, Raschel and Simon concerning eventual log-concavity. Writing $L_a=L_{1,a}$ and $f_a=f_{1,a}$, let $a_{\rm ev}$ be the eventual-log-concavity threshold and let $a_\star$ be the upper failure threshold for log-concavity of $f_a$. Their results imply $a_{\rm ev}\geq(\sqrt{5}-1)/2$, and we prove $(\sqrt{5}-1)/2\leq a_{\rm ev}\leq\min\{0.80399,a_\star\}\leq a_\star<0.918$. The bound $a_\star<0.918$ follows from the first three exact moments of $L_a$ and the sharp skewness inequality for centered log-concave distributions, while $a_{\rm ev}\leq0.80399$ follows from a certified finite-order analysis of the exact p.m.f. recurrence. Direct numerical iterations provide evidence that $a_{\rm ev}\approx0.80399$, equivalently $p_{\rm ev}\approx0.902$.
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