关于Lorentz空间$L^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)$中Navier-Stokes方程解的唯一性与正则性
On the uniqueness and the regularity of solutions to the Navier Stokes in the Lorentz space $L^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)$
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中文总结 AI 辅助
本文证明Navier-Stokes方程在Lorentz空间$L^{3,\infty}$相关函数类中解的唯一性，并证明此类解在正时间光滑，同时给出$t\to0^+$时解的精确估计。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了Navier-Stokes方程在空间$L^p\bigl([0,T],\widetilde{L}^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)\bigr) \cap C\bigl([0,T],B^{-1,\infty}_{\infty}(\mathbb{R}^3)\bigr)$（其中$p>2$，$\widetilde{L}^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)$表示Schwartz空间$\mathcal{S}(\mathbb{R}^3)$在Lorentz空间$L^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)$中的闭包）中解的唯一性。此外，我们证明该类的任何解$u$（若存在）在正时间上是光滑的，即$u\in C^\infty((0,T]\times \mathbb{R}^3)$。另外，我们建立了$u(t)$在$t\to0^+$时在各种Banach空间中行为的精确估计。
英文摘要
We prove uniqueness of solutions to the Navier-Stokes equations in the space \[ L^p\bigl([0,T],\widetilde{L}^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)\bigr) \cap C\bigl([0,T],B^{-1,\infty}_{\infty}(\mathbb{R}^3)\bigr), \qquad p>2, \] where $\widetilde{L}^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)$ denotes the closure of the Schwartz space $\mathcal{S}(\mathbb{R}^3)$ in the Lorentz space $L^{3,\infty}(\mathbb{R}^3)$. Moreover, we prove that any solution $u$ in this class, if it exists, is smooth for positive time, namely, $u\in C^\infty((0,T]\times \mathbb{R}^3)$. In addition, we establish precise estimates for the behavior of $u(t)$ as $t\to0^+ $ in various Banach spaces.
发表机构
- King Faisal University（费萨尔国王大学）
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