通过外代数计数路径与树
Counting Paths and Trees via Exterior Algebra
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中文总结 AI 辅助
本文提出基于外代数和随机矩阵估计的随机近似算法，分别以2^k k^{O(1)}和(2+η)^k的复杂度计数宿主图中的k-路径和k-森林，解决了相关猜想并给出近似方案。
中文摘要 AI 辅助
我们给出了在宿主图中计数k-路径和k-森林的随机近似算法。这里k表示模式顶点的数量，n和m分别表示宿主顶点和边或弧的数量，ε是相对误差，δ是失败概率。我们的主要结果是：1. 路径：我们在2^k k^{O(1)}(n+m)ε^{-2}log(2/δ)次算术运算内近似计算k个顶点上的有向路径的数量。2. 树和森林：对于每个固定的η>0，我们在(2+η)^k n^{O_η(1)}ε^{-2}log(2/δ)次算术运算内近似计算给定森林在k个顶点上的非诱导副本的数量。我们的路径算法解决了Koutis和Williams [CACM 2016]的猜想，并回答了Lokshtanov、Saurabh和Zehavi [SODA 2021]的开放问题，给出了一个2^k poly(n,ε^{-1})时间的近似方案。我们的算法将外代数与随机矩阵估计器相结合，使用了Rakhshan和Rabusseau [AISTATS 2020]的张量-列矩界。对于森林，我们使用一个小分量分隔符来高效地评估估计器。
英文摘要
We give randomized approximation algorithms for counting k-paths and k-forests in a host graph. Here k denotes the number of pattern vertices, n and m denote the numbers of host vertices and edges or arcs, ε is the relative error, and δ is the failure probability. Our main results are: 1. Paths: We approximate the number of directed paths on $k$ vertices in $2^k k^{O(1)}(n+m)\varepsilon^{-2}\log(2/δ)$ arithmetic operations. 2. Trees and forests: For every fixed $η>0$, we approximate the number of non-induced copies of a given forest on $k$ vertices in $(2+η)^k n^{O_η(1)}\varepsilon^{-2}\log(2/δ)$ arithmetic operations. Our path algorithm resolves a conjecture of Koutis and Williams~[CACM 2016] and answers an open question of Lokshtanov, Saurabh, and Zehavi~[SODA 2021] by giving a $2^k poly(n,\varepsilon^{-1})$-time approximation scheme. Our algorithms combine exterior algebra with random matrix estimators, using the tensor-train moment bound of Rakhshan and Rabusseau~[AISTATS 2020]. For forests, we use a small-component separator to evaluate the estimator efficiently.
发表机构
- University of Leeds（利兹大学）
- The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（数学科学研究所，HBNI）
- University of Bergen（卑尔根大学）
- Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
- New York University Shanghai（纽约大学上海分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
