发表机构
Eötvös University; Alfréd Rényi Institute; Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences at Xidian University; Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（厄特沃什·罗兰大学; 阿尔弗雷德·雷尼研究所; 西安电子科技大学数学与交叉科学研究院; 上海科技大学数学科学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究可数局部有限阿贝尔群中，通过有限子群滤过定义子集和集合的密度极限点，证明当 $|2G|=\infty$ 时任意区间可实现，并给出正密度下的加法闭包性质。
AI 中文摘要
设 $G$ 为可数局部有限阿贝尔群，且设 \\[ G_1\leq G_2\leq\cdots, \qquad \bigcup_{i\geq1}G_i=G, \\] 为 $G$ 的由有限子群构成的任意滤过。对于 $A\subseteq G$，令 $\mathcal P(A)$ 表示 $A$ 的元素的所有有限子集和之集合，并令 $2G:=\{2g:g\in G\}$。我们证明 $|2G|=\infty$ 当且仅当对于每个滤过和每个区间 $[\alpha,\beta]\subseteq[0,1]$，存在 $A\subseteq G$ 使得序列 \\[ \left( \frac{|\mathcal P(A)\cap G_i|}{|G_i|} \right)_{i\geq1} \\] 的极限点集合恰好为 $[\alpha,\beta]$。我们还证明了一个不要求 $|2G|=\infty$ 的正密度结果：若 $G$ 为无限群且 $\mathcal P(A)$ 沿给定滤过具有正上密度，则存在无限集 $B\subseteq \mathcal P(A)$ 使得 $B+B\subseteq \mathcal P(A)$。将此与实现定理结合，我们证明当 $|2G|=\infty$ 时，每个满足 $0\leq\alpha\leq\beta\leq1$ 且 $\beta>0$ 的区间 $[\alpha,\beta]$ 都能被一个具有此附加性质的集合 $A$ 实现。
英文摘要
Let $G$ be a countable locally finite abelian group, and let \[ G_1\leq G_2\leq\cdots, \qquad \bigcup_{i\geq1}G_i=G, \] be any filtration of $G$ by finite subgroups. For $A\subseteq G$, let $\mathcal P(A)$ denote the set of all finite subset sums of elements of $A$, and let $2G:=\{2g:g\in G\}$. We prove that $|2G|=\infty$ if and only if for every filtration and every interval $[α,β]\subseteq[0,1]$, there exists $A\subseteq G$ such that the set of limit points of \[ \left( \frac{|\mathcal P(A)\cap G_i|}{|G_i|} \right)_{i\geq1} \] is exactly $[α,β]$. We also prove a positive-density result that does not require $|2G|=\infty$: if $G$ is infinite and $\mathcal P(A)$ has positive upper density along the given filtration, then there is an infinite set $B\subseteq \mathcal P(A)$ such that $B+B\subseteq \mathcal P(A)$. Combining this with the realization theorem, we show that, when $|2G|=\infty$, every interval $[α,β]$ with $0\leqα\leqβ\leq1$ and $β>0$ can be realized by a set $A$ with this additional property.
