发表机构
University of the Basque Country UPV/EHU; Basque Center for Applied Mathematics (BCAM); Institut de Mathématiques de Bordeaux, UMR 5251, Université de Bordeaux/Bordeaux INP/CNRS; Institut Universitaire de France (IUF)（巴斯克地区大学; 巴斯克应用数学中心; 波尔多数学研究所; 法兰西学院）
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本文研究一维热方程在快速振荡系数下的范数最优与时间最优控制的均匀化，通过一致可观测性估计和抽象最优控制理论，证明了最优值、最优时间及控制函数的收敛性。
AI 中文摘要
我们研究了一维热方程在快速振荡周期扩散系数下的范数最优与时间最优控制的均匀化问题。控制作用于一个固定子区间，并受到空间和时间上的逐点约束。我们首先推导了关于振荡尺度一致成立的终态可观测性和零可控性估计。将这些估计与周期均匀化以及抛物系统最优控制的抽象理论相结合，我们证明了范数最优值和最优控制收敛到其均匀化对应物。随后，我们推导了最优时间和时间最优控制的收敛性。控制函数在本质有界函数空间中弱星收敛，并在每个有限指数的Lebesgue空间中强收敛，必要时在扩展到共同时间区间后进行。
英文摘要
We study homogenization of norm-optimal and time-optimal controls for a one-dimensional heat equation with rapidly oscillating periodic diffusion coefficients. The controls act on a fixed subinterval and are subject to pointwise constraints in space and time. We first derive final-state observability and null-controllability estimates that are uniform with respect to the oscillation scale. Combining these estimates with periodic homogenization and an abstract theory of optimal controls for parabolic systems, we prove convergence of the norm-optimal values and controls to their homogenized counterparts. We then deduce convergence of the optimal times and time-optimal controls. The controls converge weakly-star in the space of essentially bounded functions and strongly in every Lebesgue space with finite exponent, after extension to a common time interval when necessary.
