AI 中文总结
本文为纯分数阶 Dirichlet 问题建立了首个定量的 Gidas--Ni--Nirenberg 定理，通过移位一致的弱 Harnack 不等式克服外部尾部障碍，证明了振荡与控制函数的幂次关系。
AI 中文摘要
我们为纯分数阶 Dirichlet 问题建立了定量的 Gidas--Ni--Nirenberg 定理：\\[ (-\Delta)^s u=k(x)g(u)\quad\text{在 }B_1\text{ 中}, \qquad u=0\quad\text{在 }\mathbb R^n\setminus B_1\text{ 中}, \qquad 0<s<1. \\] 对于在双侧 $L^\infty$ 归一化下的正有界解，我们证明 \\[ \mathcal D(u)\le C\\,\mathcal D(k)^\gamma,\qquad 0<\gamma<1, \\] 其中 $\mathcal D$ 度量球面振荡和向外径向增长。据我们所知，这为纯分数阶 Dirichlet 问题提供了首个定量的 Gidas--Ni--Nirenberg 估计。关键的新工具是移位一致、弱 Harnack 不等式，适用于移位反对称超解，它克服了定量移动平面论证中的外部尾部障碍。该机制可推广到不可分离的非线性项。
英文摘要
We establish a quantitative Gidas--Ni--Nirenberg theorem for the pure fractional Dirichlet problem \[ (-Δ)^s u=k(x)g(u)\quad\text{in }B_1, \qquad u=0\quad\text{in }\mathbb R^n\setminus B_1, \qquad 0<s<1. \] For positive bounded solutions under a two-sided $L^\infty$ normalization, we prove \[ \mathcal D(u)\le C\,\mathcal D(k)^γ,\qquad 0<γ<1, \] where $\mathcal D$ measures spherical oscillation and outward radial increase. To the best of our knowledge, this provides the first quantitative Gidas--Ni--Nirenberg estimate for the pure fractional Dirichlet problem. The key new ingredient is a shift-uniform, weak Harnack inequality for shifted antisymmetric supersolutions, which overcomes the exterior-tail obstruction in the quantitative moving-plane argument. This mechanism extends to nonseparable nonlinearities.
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