相关矩阵不相容性的两个简短证明
Two short proofs of incompatibility for correlation matrices
AI总结：
本文通过两个简短证明，结合已有结果，解决了关于相关矩阵集合与椭圆体相等性的猜想，即当且仅当维度不超过5时相等。
AI中文摘要：
设 $P_d$ 为 $d \times d$ 相关矩阵的椭圆体，对于标准化分布 $F$，令 $S_d^F$ 为所有边缘分布均为 $F$ 的随机向量的相关矩阵集合。我们给出两个简短证明。首先，$|x|^4$ 在 $\mathbb{R}^4$ 上作为线性形式四次幂之和的十一项表示得出对于均匀边缘 $S_{11} \neq P_{11}$。其次，正二十面体的六条对角线得出对于反正弦边缘 $S_6^F \neq P_6$。结合 Devroye 和 Letac 的一个结果，这给出 $S_d^F = P_d$ 当且仅当 $d \le 5$，解决了他们的一个猜想。
英文摘要：
Let $P_d$ be the elliptope of $d \times d$ correlation matrices, and, for a standardised law $F$, let $S_d^F$ be the set of correlation matrices of random vectors with all margins $F$. We give two short proofs. First, an eleven-term representation of $|x|^4$ as a sum of fourth powers of linear forms on $\mathbb{R}^4$ yields $S_{11} \neq P_{11}$ for uniform margins. Second, the six diagonals of the regular icosahedron yield $S_6^F \neq P_6$ for arcsine margins. Together with a result of Devroye and Letac, this gives $S_d^F = P_d$ if and only if $d \le 5$, settling a conjecture of theirs.
