Igusa--Todorov 代数与 Auslander--Reiten 猜想
Igusa--Todorov Algebras and the Auslander--Reiten Conjecture
AI总结：
本文证明所有 Igusa--Todorov Artin 代数满足 Auslander--Reiten 猜想，并给出两个应用类：表示维数至多 3 的代数及满足特定幂零条件的代数。
AI中文摘要：
我们证明了每个 Igusa--Todorov Artin 代数都满足 Auslander--Reiten 猜想。更精确地，设 $V$ 是一个 $n$-Igusa--Todorov 见证，且 $t$ 为 $V$ 的非投射不可分解直和项的同构类数目。若有限生成模 $M$ 满足对所有 $i>0$ 有 $\Ext_A^i(M,A)=0$，且对 $1\leq q\leq 2t+1$ 有 $\Ext_A^q(M,M)=0$，则 $M$ 是投射的。作为应用，表示维数至多为 3 的代数以及满足 $J^{2m+1}=0$ 且 $A/J^m$ 具有有限表示型的代数均满足 Auslander--Reiten 猜想。
英文摘要：
We prove that every Igusa--Todorov Artin algebra satisfies the Auslander--Reiten conjecture. More precisely, let $V$ be an $n$-Igusa--Todorov witness, and let $t$ be the number of isomorphism classes of nonprojective indecomposable summands of $V$. If a finitely generated module $M$ satisfies $\Ext_A^i(M,A)=0$ for every $i>0$ and $\Ext_A^q(M,M)=0$ for $1\leq q\leq 2t+1$, then $M$ is projective. As applications, algebras of representation dimension at most three and algebras satisfying $J^{2m+1}=0$ for which $A/J^m$ has finite representation type satisfy the Auslander--Reiten conjecture.
