具有高度函数的有向图与 $C_4$ 的定向的可避免性
Avoidability of Digraphs with Height Functions and Orientations of $C_4$
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- Nankai University（南开大学）
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中文总结 AI 辅助
本文证明了无高度函数的有向图可避免，并分类了$C_4$的定向，其中单向完全二分定向是唯一非欧拉可避免的。
中文摘要 AI 辅助
一个有向图 $F$ 是可避免的，如果对于每个正整数 $k$，存在一个整数 $d$，使得每个最小出度至少为 $d$ 的有向图都包含一个最小出度至少为 $k$ 的 $F$-自由子有向图。我们证明，不存在具有高度函数的有向图是可避免的，其中高度函数沿每条弧增加一。这回答了 Christoph、Janzer、Petrova 和 Steiner 的一个问题，并且结合一个额外的可避免性论证，确定了 $C_4$ 的哪些定向是可避免的。受 Christoph、Janzer、Petrova 和 Steiner 的进一步问题的启发，我们还研究了欧拉可避免性，其中宿主有向图要求在每个顶点处入度和出度相等。我们证明，没有非空部分的单向完全二分有向图是欧拉可避免的。相比之下，由两条具有公共端点的长度为二的有向路径组成的 $C_4$ 的定向是欧拉可避免的。因此，单向完全二分定向是 $C_4$ 的唯一非欧拉可避免的定向，完成了 $C_4$ 定向的分类。
英文摘要
A digraph $F$ is avoidable if, for every positive integer $k$, there exists an integer $d$ such that every digraph of minimum out-degree at least $d$ contains an $F$-free subdigraph of minimum out-degree at least $k$. We prove that no digraph admitting a height function is avoidable, where a height function increases by one along every arc. This answers a question of Christoph, Janzer, Petrova, and Steiner and, together with an additional avoidance argument, determines which orientations of $C_4$ are avoidable. Motivated by a further question of Christoph, Janzer, Petrova, and Steiner, we also study Eulerian avoidability, in which the host digraph is required to have equal in-degree and out-degree at every vertex. We show that no one-directed complete bipartite digraph with nonempty parts is Eulerian-avoidable. In contrast, the orientation of $C_4$ consisting of two directed paths of length two with common endpoints is Eulerian-avoidable. Consequently, the one-directed complete bipartite orientation is the only orientation of $C_4$ that is not Eulerian-avoidable, completing the classification of $C_4$-orientations.
