$\mathbb R^4$ 和 $\mathbb R^5$ 中有限 $\delta$-指标的极小超曲面
Minimal hypersurfaces of finite $δ$-index in $\mathbb R^4$ and $\mathbb R^5$
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中文总结 AI 辅助
本文证明在 $\mathbb R^4$ 和 $\mathbb R^5$ 中，对 $\delta>((n-1)/n)^2$，有限 $\delta$-指标、有限 Morse 指标与有限全曲率等价，并推导出 $\delta$-稳定 Bernstein 定理。
中文摘要 AI 辅助
设 $X:M^n\to\mathbb R^{n+1}$ 为无边界、完备、连通、双侧的极小浸入，其中 $n=3,4$。我们证明，对于 $\delta>((n-1)/n)^2$，有限 $\delta$-指标、有限 Morse 指标和有限全曲率三者等价，且无需对真性、体积增长或拓扑作任何假设。主要估计表明，在紧集外 $\delta$-稳定且 $H_c^1(M;\mathbb R)$ 有限维，蕴含 $\delta>(n-2)/n$ 时的内蕴欧氏体积增长。我们还利用 Hong--Li--Wang 和 Florit-Simon 的结果，在此范围内推导出精确的 $\delta$-稳定 Bernstein 定理。
英文摘要
Let $X:M^n\to\mathbb R^{n+1}$ be a complete, connected, two-sided minimal immersion without boundary, where $n=3,4$. We prove that finite $δ$-index, finite Morse index, and finite total curvature are equivalent for $δ>((n-1)/n)^2$, without assumptions on properness, volume growth, or topology. The main estimate shows that $δ$-stability outside a compact set and finite-dimensional $H_c^1(M;\mathbb R)$ imply intrinsic Euclidean volume growth for $δ>(n-2)/n$. We also deduce the sharp $δ$-stable Bernstein theorem in this latter range from results of Hong--Li--Wang and Florit-Simon.
发表机构
- Instituto de Matemática, Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学数学研究所）
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