AI 中文总结
本文研究广义 Kronecker 箭图 K(n) 的基本正则模，在基本域 F 中当 x<n 时建立了基本模与固定秩空间的一一对应关系。
AI 中文摘要
设 $k$ 为代数闭域。广义或 $n$-Kronecker 箭图 $K(n)$ 是具有两个顶点（称为源点和汇点）以及从源点到汇点的 $n$ 条箭头的箭图。我们用 $\modd\cK_n$ 表示路径代数 $\cK_n=kK(n)$ 的有限维模的范畴。存在一个称为维数向量的函数 $\dimu: \modd\cK_n\rightarrow \mathbb{Z}^2; M \mapsto (\dim_k M_1, \dim_k M_2)$，以及两个函子 $\sigma: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2; (x,y)\mapsto (nx-y,x)$ 和 $\delta: \mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}^2;(x,y)\mapsto (y,x)$。那么集合 $\mathbf{F}=\{(x,y)\mid \frac{2}{n}x\leq y\leq x\}$ 是在 $\modd\cK_n$ 中 $\delta$ 和 $\sigma$ 作用下正则模维数向量的基本域。如果正则模 $M\in \modd\cK_n$ 不存在短正合列 $(0)\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow (0)$ 其中 $L,N$ 为非零正则模，则称 $M$ 为基本的。在本文中，我们关注集合 $\mathbf{F}$，当 $x<n$ 时，我们在基本模与固定秩的空间之间建立一一对应关系。
英文摘要
Let $k$ be an algebraically closed field. The generalized or $n$-Kronecker quiver $K(n)$ is the quiver with two vertices, called a source and a sink, and $n$ arrows from source to sink. We use $\modd\cK_n$ to denote the category of the finite-dimensional modules of the path algebra $\cK_n=kK(n)$. There exist a function called dimension vector $\dimu: \modd \cK_n\rightarrow \mathbb{Z}^2; M \mapsto (\dim_k M_1, \dim_k M_2 )$, and two functors $σ: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2; (x,y)\mapsto (nx-y,x)$, and $δ: \mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}^2;(x,y)\mapsto (y,x)$. Then the set $\mathbf{F}=\{(x,y)\mid \frac{2}{n}x\leq y\leq x\}$ is the fundamental domain of the dimension vectors of regular modules under the action of $δ$ and $σ$ in $\modd\cK_n$. We call a regular module $M\in \modd\cK_n$ \textit{elementary} if there does not exist a short exact sequence $(0)\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow (0)$ with $L,N$ being non-zero regular. In this note, we focus on the set $\mathbf{F}$, and when $x<n$, we establish a one-to-one correspondence between elementary modules and spaces of fixed rank.
