幂零群中的共轭子长度
Conjugator length in nilpotent groups
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中文总结 AI 辅助
本文构造步长为2的幂零群，研究共轭子长度函数的增长类型，证明其谱稠密且非拟等距不变量，并揭示其与实三次代数数部分商问题的联系。
中文摘要 AI 辅助
对于每个有理数 $\alpha\geq 2$，我们构造一个步长为 2 的幂零群，其共轭子长度函数满足 $\operatorname{CL}(n)\simeq n^\alpha$。由此我们推断，即使限制在幂零类至多为 2 的群中，幂零共轭子长度谱在 $\{0\}\cup[2,\infty)$ 中也是稠密的。此外，我们证明，尽管共轭子长度是幂零群的整合同余不变量，但它不是拟等距不变量：对于每个 $m \geq 1$，$\mathsf H(\mathbb R)^m$ 中的余紧格恰好实现增长类型 $n^2,\ldots,n^{m+1}$。最后，对于每个实三次代数数 $\theta$，我们构造一个步长为 2 的幂零群，使得对于每个 $\varepsilon > 0$，有 $n^3 \preceq \operatorname{CL}(n) \preceq n^{3+\varepsilon}$，并且 $n^3 \prec \operatorname{CL}(n)$ 当且仅当 $\theta$ 的至少一个实共轭具有无界部分商。因此，确定任意步长为 2 的幂零群的共轭子长度函数至少与解决具有两个非实共轭的实三次代数数的有界部分商问题一样困难。
英文摘要
For every rational number $α\geq 2$, we construct a 2-step nilpotent group with conjugator length function $\operatorname{CL}(n)\simeq n^α$. We deduce that the nilpotent conjugator length spectrum is dense in $\{0\}\cup[2,\infty)$, even after restricting to groups of nilpotency class at most $2$. Moreover, we show that, despite being a commensurability invariant of nilpotent groups, conjugator length is not a quasi-isometry invariant: for every $m \geq 1$, the cocompact lattices in $\mathsf H(\mathbb R)^m$ realize exactly the growth types $n^2,\ldots,n^{m+1}$. Finally, for every real cubic algebraic number $θ$, we construct a 2-step nilpotent group such that $n^3 \preceq \operatorname{CL}(n) \preceq n^{3+\varepsilon}$ for every $\varepsilon > 0$, with $n^3 \prec \operatorname{CL}(n)$ if and only if at least one real conjugate of $θ$ has unbounded partial quotients. Consequently, determining the conjugator length function for arbitrary 2-step nilpotent groups is at least as hard as settling the bounded-partial-quotient problem for real cubic algebraic numbers with two nonreal conjugates.
发表机构
- KU Leuven（荷语鲁汶大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
