发表机构
School of Mathematics and Statistics, Yunnan University; Department of Mathematics, National Cheng Kung University（云南大学数学与统计学院; 国立成功大学数学系）
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本文研究一般线性李（超）代数 Gaudin 代数在酉模奇异权空间上的作用，证明其为循环模且 Gaudin 代数为 Frobenius 代数，并建立超 Bethe 拟设。
AI 中文摘要
设 $\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}}$ 为一般线性李（超）代数 $\mathfrak{g}$ 关于两两不同的复数序列 ${\bf z} \in \mathbb{C}^\ell$ 的 Gaudin 代数，并设 $\mathbb{L}$ 为（无限维）酉最高权 $\mathfrak{g}$-模的 $\ell$ 重张量积。固定 $\mathbb{L}$ 的一个奇异权 $\xi$。我们证明奇异权空间 $\mathbb{L}^\text{sing}_\xi$ 是 $\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}}$-循环模，且 $\mathbb{L}^\text{sing}_\xi$ 的 Gaudin 代数 $(\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}})_{\mathbb{L}^\text{sing}_\xi}$ 是 Frobenius 代数。我们还证明，对于一般的 ${\bf z}$，$(\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}})_{\mathbb{L}^\text{sing}_\xi}$ 是可对角化的且具有简单谱。此外，我们在 $\mathbb{L}^\text{sing}_\xi$ 上建立了 $\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}}$ 的 Bethe 拟设的超版本。
英文摘要
Let $\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}}$ be the Gaudin algebra for the general linear Lie (super)algebra $\mathfrak{g}$ with respect to a sequence ${\bf z} \in \mathbb{C}^\ell$ of pairwise distinct complex numbers, and let $\mathbb{L}$ be any $\ell$-fold tensor product of (infinite-dimensional) unitarizable highest weight $\mathfrak{g}$-modules. Fix a singular weight $ξ$ of $\mathbb{L}$. We show that the singular weight space $\mathbb{L}^\text{sing}_ξ$ is a cyclic $\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}}$-module, and that the Gaudin algebra $(\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}})_{\mathbb{L}^\text{sing}_ξ}$ for $\mathbb{L}^\text{sing}_ξ$ is a Frobenius algebra. We also show that $(\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}})_{\mathbb{L}^\text{sing}_ξ}$ is diagonalizable with a simple spectrum for a generic ${\bf z}$. Furthermore, we establish a super version of the Bethe ansatz for $\mathcal{A}^{\bf z}_{\mathfrak{g}}$ on $\mathbb{L}^\text{sing}_ξ$.
