关于级别 $t$ 的 Drinfeld 尖形式分解
On Decomposition of Drinfeld cusp forms of level $t$
AI总结：
本文证明了在基域特征为奇数时，Hecke 算子 $T_t$ 在特定空间无特征值 $-t^{k/2}$ 或 $t^{k/2}$ 的特征形式，从而在维度为偶数时建立了尖形式空间的直和分解，验证了 Bandini-Valentino 猜想对无穷多个尖形式成立。
AI中文摘要：
在本文中，我们首先证明，当基域的特征为奇数时，Hecke 算子 $T_t$ 在 $\u005cSla$ 中没有特征值为 $-t^{k/2}$ 的特征形式。此外，如果 $\u005cdim \u005cSlt$ 是偶数，我们证明 $T_t$ 在 $\u005cSla$ 中没有特征值为 $t^{k/2}$ 的特征形式。作为推论，我们证明当 $\u005cdim \u005cSlt$ 为偶数时，直和分解 $\u005cSlt=\u005cSold \u005coplus \u005cSnew$ 成立。这证明了 Bandini 和 Valentino 的猜想 \u005ccite[猜想 1.1(3)]{BV19a} 对无穷多个尖形式族成立。特别地，对于任意权重 $k$，至少存在一种类型 $m$（$m$ 只有两个可能的非平凡值）使得猜想 \u005ccite[猜想 1.1(3)]{BV19a} 成立。
英文摘要：
In this article, we first prove that the Hecke operator $T_t$ has no eigenform in $\Sla$ with eigenvalue $-t^{k/2}$, when the characteristic of the base field is odd. Furthermore, if $\dim \Slt$ is even, we show that $T_t$ has no eigenform in $\Sla$ with eigenvalue $t^{k/2}$. As a consequence, we prove that the direct sum decomposition $\Slt=\Sold \oplus \Snew$ holds when $\dim \Slt$ is even. This proves the conjecture \cite[Conjecture 1.1(3)]{BV19a} of Bandini and Valentino for an infinite family of cusp forms. In particular, for any weight $k$, there exists at least one type $m$ (there are only two possible non-trivial values of $m$) for which the conjecture \cite[Conjecture 1.1(3)]{BV19a} is true.
