不连续广义Liénard系统在双变量扰动下极限环数量的估计
Limit Cycles in a Discontinuous Generalized Liénard Systems with Bivariate Perturbation
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中文总结 AI 辅助
本文研究不连续广义Liénard系统在双变量扰动下极限环数量的估计，利用一阶平均定理得到精确下界 $H_{m,n}=\lfloor n/2\rfloor+\lfloor m/2\rfloor$，并给出达到该下界的显式例子。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了分段光滑微分系统 $$\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-x-\varepsilon\bigl(f(x)y+\operatorname{sgn}(x)g(x,y)\bigr)$$ 的极限环数量，其中 $f(x)$ 是次数 $n\geq 1$ 的多项式，$g(x,y)$ 是次数 $m\geq 2$ 的二元多项式，$\varepsilon$ 是足够小的参数。将不连续性置于纵轴 $\Sigma=\{x=0\}$ 上会产生一个奇偶性障碍：如果 $g$ 仅依赖于 $x$，则其对一阶平均函数的贡献恒为零，无论 $g$ 的次数如何。对于二元 $g(x,y)$，只有 $i$ 和 $j$ 均为奇数的单项式 $x^iy^j$ 才有贡献。结合不连续系统的一阶平均定理，我们得到了从线性中心分岔出的极限环数量的下界 $H_{m,n}=\lfloor n/2\rfloor+\lfloor m/2\rfloor$。该下界是精确的，我们提供了一个达到 $H_{m,n}$ 个极限环的显式例子。
英文摘要
We study the number of limit cycles of the piecewise smooth differential system \[ \dot{x}=y, \quad \dot{y}=-x-\varepsilon\bigl(f(x)y+\operatorname{sgn}(x)g(x,y)\bigr),\] where $f(x)$ is a polynomial of degree $n\geq 1$, $g(x,y)$ is a bivariate polynomial of degree $m\geq 2$, and $\varepsilon$ is a sufficiently small parameter. Using the first-order averaging theorem for discontinuous systems, we obtain that the number $H_{m,n}=\lfloor n/2\rfloor+\lfloor m/2\rfloor$ is a lower bound for the number of limit cycles bifurcating from the linear center $\dot{x}=y, \ \dot{y}=-x$. The bound is sharp, and we provide an explicit example that attains $H_{m,n}$ limit cycles.
发表机构
- Universidad del Atlántico（大西洋大学）
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