Shubin--Vakilian--Wolff 半密度不确定性原理
The Shubin--Vakilian--Wolff Uncertainty Principle at Half Density
- School of Mathematics and Statistics, Central South University（中南大学数学与统计学院）
- Department of Mathematics, Louisiana State University（路易斯安那州立大学数学系）
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AI总结：
该研究否定回答了 Shubin-Vakilian-Wolff 关于半密度以下不确定性原理的猜想，构造了 $1/2$ 密度薄集的反例，并给出了 $\kappa$ 小时临界密度趋于 $1/2$ 的正估计。
AI中文摘要：
Shubin、Vakilian 和 Wolff 证明了在互反尺度上具有足够小局部密度的集合的傅里叶不确定性原理，并提出了是否每个低于 1 的密度都是可允许的问题。我们在维度一中通过构造 $1/2$ 密度薄集和单位向量的序列对来否定地回答这个问题，这些序列对在这些集合之外的总位置和傅里叶质量趋于零。这种障碍对于每个缩放的互反轮廓 $\rho_\kappa(x)=\min\{1,\kappa/|x|\}$，$\kappa>0$ 都持续存在。另一方面，对于 $0<\kappa\le1$，当密度 $$ \varepsilon<\frac{1}{2(1+32\kappa)} $$ 时，不确定性估计成立。因此，当 $\kappa\downarrow 0$ 时，临界密度趋于 $1/2$。该障碍使用奇高斯波包将范数界从自由群模型转移。正估计使用傅里叶互补的反 Wick 算子和互反几何的二次拉直。
英文摘要：
Shubin, Vakilian, and Wolff proved a Fourier uncertainty principle for sets of sufficiently small local density at the reciprocal scale and asked whether every density below one is admissible. We answer this question negatively in dimension one by constructing sequences of pairs of $1/2$-density thin sets and unit vectors whose total position and Fourier mass outside these sets tends to zero. This obstruction persists for every scaled reciprocal profile $ρ_κ(x)=\min\{1,κ/|x|\}$, $κ>0$. On the other hand, for $0<κ\le1$, the uncertainty estimate holds whenever the density $$ \varepsilon<\frac{1}{2(1+32κ)}. $$ Thus the critical density tends to $1/2$ as $κ\downarrow 0$. The obstruction uses odd Gaussian packets to transfer norm bounds from a free-group model. The positive estimate uses a Fourier-complementary anti-Wick operator and quadratic straightening of the reciprocal geometry.
