晶格图 $ \mathbb{Z}^d$ 上带 Hardy 算子的 Poisson 问题及其在半线性方程中的应用
Poisson problem with Hardy operator on lattice graph $ \mathbb{Z}^d$ and the application to semilinear equations
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中文总结 AI 辅助
本文研究晶格图 $\mathbb{Z}^d$ 上带 Hardy 算子的 Poisson 问题，通过 Green 核估计和加权可和性条件刻画其可解性，并完整给出半线性椭圆不等式正解不存在性的充要条件。
中文摘要 AI 辅助
本文研究了 $d$ 维整数晶格图 $\mathbb{Z}^d$ 上 Hardy 型算子 $-\Delta + \mu H_0$ 的解析性质，其中 $\mu \geq -1$，$H_0$ 是无穷远处的一个临界 Hardy 势，该势自然来源于离散 Hardy 不等式。我们在 $\mathbb{Z}^d$ 上导出了尖锐的固定极点 Green 核估计，并得到了一个充要的加权可和性条件，用以刻画与该算子相关的非负 Poisson 问题的可解性。基于这一分类，我们完整刻画了半线性椭圆不等式 $$ -\Delta u + \mu H_0 u \geq W u^p \quad \text{in } \mathbb{Z}^d $$ 正解不存在性的特征，其中 $p > 0$，$d \geq 3$，$\mu \geq -1$，$H_0, W \in C(\mathbb{Z}^d)$ 是严格正势，且当 $|x| \to \infty$ 时满足渐近行为 $H_0(x) \sim |x|^{-2}$ 和 $W(x) \sim |x|^{\theta}$，其中 $\theta \in \mathbb{R}$。
英文摘要
In this paper, we investigate the analytic properties of the Hardy-type operator $-Δ+ μH_0$ on the $d$-dimensional integer lattice graph $\mathbb{Z}^d$, where $μ\geq -1$ and $H_0$ is a critical Hardy potential at infinity--arising naturally from discrete Hardy inequalities. We derive sharp fixed-pole Green kernel estimates on $\mathbb{Z}^d$ and obtain a necessary and sufficient weighted summability condition characterizing the solvability of the nonnegative Poisson problem associated with this operator. Building upon this classification, we provide a complete characterization of the nonexistence of positive solutions to the semilinear elliptic inequality $$ -Δu + μH_0 u \geq W u^p \quad \text{in } \mathbb{Z}^d, $$ where $p > 0$, $d \geq 3$, $μ\geq -1$, and $H_0, W \in C(\mathbb{Z}^d)$ are strictly positive potentials satisfying the asymptotic behaviors $H_0(x) \sim |x|^{-2}$ and $W(x) \sim |x|^θ$ as $|x| \to \infty$, with $θ\in \mathbb{R}$.
发表机构
- Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Fudan University（复旦大学数学与交叉科学中心）
- Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉科学研究院）
- School of Mathematical Sciences, LMNS, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
- Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）
- Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学复杂系统研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
