分圆类群某些特征空间的消失密度

中文摘要 AI 辅助

对于奇素数 $p$，设 $A_j$ 为 $\mathbb Q(\zeta_p)$ 的 $p$-主类群的 $\omega^j$-特征空间。固定一个偶数整数 $d\ge4$，令 $N=(p-1)/d$，并设 $U_d=(\mathbb Z/d\mathbb Z)^\times$。对于满足 $p\equiv d+1\pmod{2d}$ 的相对密度为一的素数集合，我们证明奇数块 $\bigoplus_{a\in U_d}A_{aN}$ 的阶至多为 $p^{\varphi(d)/2-1}$，且反射表明偶数块 $\bigoplus_{a\in U_d}A_{p-aN}$ 的 $p$-秩至多为 $\varphi(d)/2-1$。对于每个 $d\in\{4,6\}$，两个块在满足 $p\equiv d+1\pmod{2d}$ 的相对密度为一的素数集合上均消失；特别地，偶数分量按照 Vandiver 猜想消失。对于每个 $d\in\{8,10,12\}$，奇数块在同一算术级数中的相对密度为一的素数集合上阶至多为 $p$，因此每个被加项 $A_{aN}$（$a\in U_d$）都是循环的，符合 Iwasawa 循环性猜想。证明使用了 Dirichlet $L$-值乘积的无原子极限定律、广义 Bernoulli 范数的整性、相对类数公式和反射。一个独立的精确计算证明了对于每个奇素数 $p$，$A_{34}=0$；一个单文件 PARI/GP 程序可复现该计算。

英文摘要

For an odd prime $p$, let $A_j$ be the $ω^j$-eigenspace of the $p$-primary class group of $\mathbb Q(ζ_p)$. Fix an even integer $d\ge4$, put $N=(p-1)/d$, and let $U_d=(\mathbb Z/d\mathbb Z)^\times$. For a relative density-one set of primes $p\equiv d+1\pmod{2d}$, we prove that the odd block $\bigoplus_{a\in U_d}A_{aN}$ has order at most $p^{φ(d)/2-1}$, and reflection shows that the even block $\bigoplus_{a\in U_d}A_{p-aN}$ has $p$-rank at most $φ(d)/2-1$. For each $d\in\{4,6\}$, both blocks vanish for a relative density-one set of primes $p\equiv d+1\pmod{2d}$; in particular, the even components vanish in accordance with Vandiver's conjecture. For each $d\in\{8,10,12\}$, the odd block has order at most $p$ for a relative density-one set of primes in the same progression, so every summand $A_{aN}$, $a\in U_d$, is cyclic, in accordance with Iwasawa's cyclicity conjecture. The proof uses an atomless limiting law for products of Dirichlet $L$-values, integrality of generalized Bernoulli norms, the relative class-number formula and reflection. A separate exact computation proves $A_{34}=0$ for every odd prime $p$; a single-file PARI/GP program reproduces the calculation.

发表机构

• Nanjing University（南京大学）
• Hefei University of Technology（合肥工业大学）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

13 pages