Linnik微平方问题中几乎所有整数的最优尺度
The optimal scale in Linnik's microsquare problem for almost all integers
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本文证明Linnik微平方问题中几乎所有整数的最优尺度为$\sqrt{\log n}$，改进Wooley界，并给出奇数表示为无平方因子数与二的幂之和的充要条件。
中文摘要 AI 辅助
我们证明，对于任意趋于无穷的正函数$\Psi(t)$，几乎所有满足$4\nmid n$且$n\not\equiv7\pmod8$的正整数$n$都可以写成$n=x^2+y^2+z^2$，其中$x,y,z\in\mathbb{Z}$且$1\leqslant z<\sqrt{\log n}\\,\Psi(n)$。这改进了Wooley的界，并且我们证明该结果是最优的。我们的方法结合了Hooley关于两个平方和的加权表示函数与Green的$W$-trick。我们还给出了一个关于覆盖系的充分必要条件，用于刻画几乎所有奇数都可以表示为一个无平方因子数与一个二的幂之和，从而回答了Granville和Soundararajan提出的一个问题。
英文摘要
We prove that, for any positive function $Ψ(t)\to\infty$, almost all positive integers $n$ satisfying $4\nmid n$ and $n\not\equiv7\pmod8$ can be written as $n=x^2+y^2+z^2$, where $x,y,z\in\mathbb{Z}$ and $1\leqslant z<\sqrt{\log n}\,Ψ(n)$. This improves Wooley's bound, and we show that the result is best possible. Our approach combines Hooley's weighted representation function for sums of two squares with Green's $W$-trick. We also give a necessary and sufficient condition, in terms of covering systems, for almost all odd integers to be represented as the sum of a squarefree number and a power of two, answering a question of Granville and Soundararajan.
发表机构
- University of Bristol（布里斯托大学）
- University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
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