双股环面纽结的着色 $SU(n)$ 不变量的分圆展开与 Bailey 变换
Cyclotomic expansions of colored $SU(n)$ invariants of two-strand torus knots and Bailey transforms
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中文总结 AI 辅助
本文证明了 Chen--Liu--Zhu 关于着色 SU(n) 不变量的分圆展开猜想对双股环面纽结 T(2,2p+1) 成立，通过 Bailey 变换给出系数，并导出同余关系及体积猜想的部分证明。
中文摘要 AI 辅助
Habiro 关于着色 Jones 多项式的分圆展开有一个由 Chen--Liu--Zhu 为着色 $SU(n)$ 不变量猜想的高秩类比。我们证明了这个猜想对于环面纽结 $T(2,2p+1)$ 成立，并给出了分圆系数的 Bailey 理论实现。对于 $n\geq2$ 和 $K_p=T(2,2p+1)$，着色 $SU(n)$ 不变量允许展开 $$ J_N^{SU(n)}(K_p;q) = \sum_{m=0}^{N} \left(\prod_{j=0}^{m-1}\{N-j\}\{N+n+j\}\right) H_m^{(n,p)}(q), $$ 其中 $H_m^{(n,p)}(q)\in\mathbb Z[q^{\pm1}]$ 独立于颜色 $N$。证明将分圆基与 Newton 基等同，并将所得的 Newton 系数重写为普通的 Bailey 变换。然后，$T(2,2p+1)$ 的 Lin--Zheng 公式给出了一个良平衡的 Bailey 核。一个终止的非常良平衡 ${}_6\phi_5$ 求和将对角化该核，并将整性问题归结为普通的 Bailey 转移。我们在一个形式积分 $q$-差分算子代数中证明了这些转移的一致整性定理。作为直接推论，该展开产生了相应的同余关系，并证明了 Chen--Liu--Zhu $SU(n)$ 体积猜想对于 $T(2,2p+1)$ 的第 (i) 部分。
英文摘要
Habiro's cyclotomic expansion of the colored Jones polynomial has a higher rank analogue conjectured by Chen--Liu--Zhu for colored $SU(n)$ invariants. We prove this conjecture for torus knots $T(2,2p+1)$ and give a Bailey theoretic realization of the cyclotomic coefficients. For $n\geq2$ and $K_p=T(2,2p+1)$, the colored $SU(n)$ invariants admit an expansion $$ J_N^{SU(n)}(K_p;q) = \sum_{m=0}^{N} \left(\prod_{j=0}^{m-1}\{N-j\}\{N+n+j\}\right) H_m^{(n,p)}(q), $$ where $H_m^{(n,p)}(q)\in\mathbb Z[q^{\pm1}]$ is independent of the color $N$. The proof identifies the cyclotomic basis with a Newton basis and rewrites the resulting Newton coefficients as an ordinary Bailey transform. The Lin--Zheng formula for $T(2,2p+1)$ then gives a well-poised Bailey kernel. A terminating very-well-poised ${}_6ϕ_5$ summation diagonalizes the kernel and reduces the integrality problem to an ordinary Bailey transition. We prove a uniform integrality theorem for these transitions in a formal integral $q$-difference operator algebra. As a direct corollary, the expansion yields the corresponding congruence relations and proves part(i) of the Chen--Liu--Zhu $SU(n)$ volume conjecture for $T(2,2p+1)$.
