发表机构
School of Mathematics and Statistics, and Hubei Key Lab–Math. Sci.,Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院、湖北省数学科学重点实验室）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究奇轮图 $W_{2k+1}$ 的固定规模谱极值问题，在非零剩余类中完全解决了 Yu-Zhang-Zhang 猜想，确定了 $k\ge 3$ 时最大谱半径的唯一极值图 $S_{k,m}$，并引入了稠密核约简等新证明技术。
AI 中文摘要
对于固定的整数 $k\ge 2$，设 $W_{2k+1}=K_1\vee C_{2k}$ 为奇轮图。固定规模的谱极值问题旨在确定 \\[ \operatorname{spex}(m,W_{2k+1}):=\max\{\rho(G): e(G)=m,\\ G \text{ 是 } W_{2k+1}\text{-free}\}, \\] 其中 $\rho(G)$ 表示邻接谱半径。基于此问题，Yu、Li 和 Peng~\cite{YLP} 提出了以下猜想：当 $m-\binom{k}{2}$ 能被 $k$ 整除且 $m$ 足够大时，每个规模为 $m$ 的 $W_{2k+1}$-free 图满足 \\( \rho(G)^2-(k-1)\rho(G)\le m-\binom{k}{2} \\)，且等号仅在 $K_k\vee qK_1$ 时成立。最近，Fang、Zhai 和 Zhang~\cite{FangZhaiZhang} 证实了 $k\ge 3$ 时的 Yu--Li--Peng 猜想。当 $m$ 足够大、$k\ge 3$ 且 $m-\binom{k}{2}$ 不能被 $k$ 整除时，上述精确问题仍然开放。针对此问题，Yu、Zhang 和 Zhang~\cite{YZZ} 提出了以下猜想：设 $r$ 为 $m-\binom{k}{2}$ 除以 $k$ 的非零余数。则 $S_{k,m}$ 是规模为 $m$ 的 $W_{2k+1}$-free 图中具有最大谱半径的唯一图，其中 $S_{m,k}$ 由 $K_k\vee qK_1$ 添加一个顶点 $z$ 并使其与 $K_k$ 的恰好 $r$ 个顶点相连得到。在本文中，我们在每个非零剩余类中处理此问题。我们的结果完全解决了 $k\ge 3$ 时的 Yu-Zhang-Zhang 猜想。证明通过一些新技术和方法展开，如稠密核约简、边谱稳定性、Perron 局部化和离散缺陷量化。
英文摘要
For a fixed integer $k\ge 2$, let $W_{2k+1}=K_1\vee C_{2k}$ be an odd wheel graph. The fixed-size spectral extremal problem aims to determine \[ \operatorname{spex}(m,W_{2k+1}):=\max\{ρ(G): e(G)=m,\ G \text{ is } W_{2k+1}\text{-free}\}, \] where $ρ(G)$ denotes the adjacency spectral radius. Based on this problem, Yu, Li, and Peng [18] proposed the following conjecture: For large $m$, every $W_{2k+1}$-free graph of size $m$ satisfies $ρ(G)^2-(k-1)ρ(G)\le m-\binom{k}{2}$ with equality precisely for $K_k\vee qK_1$ and $m-\binom{k}{2}=kq$. Very recently, Fang, Zhai and Zhang [7] confirmed the Yu--Li--Peng conjecture. When $m$ is large, $k\ge 2$ and $m-\binom{k}{2}$ is not divisible by $k$, the exact solution for the above problem is still open. Regarding this problem, Yu, Zhang, and Zhang [19] proposed the following conjecture: Let $r$ be a nonzero remainder when $m-\binom{k}{2}$ is divided by $k$. Then $S_{k,m}$ is the unique graph among $W_{2k+1}$-free graphs of size $m$ having maximum spectral radius, where $S_{k,m}$ is obtained from $K_k\vee qK_1$ by adding a vertex $z$ and joining it to exactly $r$ vertices of the $K_k$. In this paper we address this problem in each nonzero residue class. Our result completely settles the Yu-Zhang-Zhang conjecture for $k\ge 3$.
Comments27 pages
