一些GRM码族的重量谱

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设$\mathrm{RM}_q(r,m)$表示有限域$\mathbb{F}_q$上阶为$r$、长度为$q^m$的广义Reed-Muller码。我们完全确定了$\mathrm{RM}_3(2m-i,m)$（$i=3,4$）、$\mathrm{RM}_4(3m-i,m)$（$i=2,3$）、$\mathrm{RM}_5(4m-4,m)$和$\mathrm{RM}_7(6m-4,m)$在相应结果中指定的$m$范围内的重量谱。证明通过对$m$进行归纳，利用GRM重量谱的sumset包含关系以及低重量码字的结果。所需的基础情形通过Magma中的计算建立，对于某些三元情形，则使用Z3进行精确约束求解。

英文摘要

Let $\mathrm{RM}_q(r,m)$ denote the generalized Reed--Muller code of order $r$ and length $q^m$ over the finite field $\mathbb{F}_q$. We completely determine the weight spectra of $\mathrm{RM}_3(2m-i,m)$ for $i=3,4$, $\mathrm{RM}_4(3m-i,m)$ for $i=2,3$, $\mathrm{RM}_5(4m-4,m)$, and $\mathrm{RM}_7(6m-4,m)$, in the ranges of $m$ specified in the corresponding results. The proofs proceed by induction on $m$, using a sumset inclusion for GRM weight spectra together with results on low-weight codewords. The required base cases are established by computations in Magma and, for certain ternary cases, exact constraint solving with Z3.

发表机构

• Key Laboratory of Intelligent Computing Signal Processing, Ministry of Education, School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学科学学院）
• State Key Laboratory of Integrated Service Networks, Xidian University（西安电子科技大学集成服务网络国家重点实验室）
• I2M (Aix Marseille Univ, CNRS)（艾克斯马赛大学CNRS数学研究所）

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