单临界多项式与大秩椭圆曲线的动力学一致有界性
Dynamical uniform boundedness for unicritical polynomials
- Institut des Hautes Études Scientifiques（高等科学研究所）
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AI总结：
本文证明了对数域上单临界多项式在多数情形下的动力学一致有界性猜想，并给出有效界，同时将剩余情形归结为椭圆曲线或dynatomic曲线Jacobian的Mordell-Weil秩有界性。
AI中文摘要：
对于每个数域 $K$，我们证明了当 $d \geq 4$ 时，以及当 $d = 3$ 且 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3}) \not\subset K$ 时，单临界多项式族 $z^d + c$ 的动力学一致有界性猜想。此外，我们为单临界多项式的周期点构造的无条件界是有效可计算的。在所有剩余情形中，我们证明动力学一致有界性猜想可由以下事实推出：当 $d = 3$ 时，特定椭圆曲线族在 $K$ 上的 Mordell-Weil 秩的有界性；当 $d = 2$ 时，dynatomic 曲线的 Jacobian 的 Mordell-Weil 秩的有界性。
英文摘要：
We prove the dynamical uniform boundedness conjecture for unicritical polynomials $z^d + c$ over every number field $K$ when $d \geq 4$, and over every number field $K$ not containing $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ when $d = 3$. Furthermore, our unconditional bounds on perodic points are effectively computable. In the remaining cases, we show that the dynamical uniform boundedness conjecture is implied by the boundedness of Mordell-Weil ranks over $K$ for a specific family of elliptic curves when $d = 3$ and for Jacobians of dynatomic curves when $d = 2$.
