发表机构
University of Toronto（多伦多大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对网格采样的 1-Lipschitz 函数，确定了 marching cubes 网格包含真实零水平集的锐利保守偏移下确界为 $\frac{\sqrt{3}}{2}h$，并通过凸提升方法证明了该结果。
AI 中文摘要
给定一个在规则网格上采样的网格采样 1-Lipschitz 函数 $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$（例如符号距离函数），我们确定锐利下确界 $\sigma_\star$，使得对于每个 $\sigma > \sigma_\star$，真实的零水平集 $f^{-1}(0)$ 都包含在 $f = \sigma$ 的 marching cubes 网格中。对于间距为 $h$ 的网格，锐利下确界为 $\sigma_\star = \frac{\sqrt{3}}{2} h$。尽管 marching cubes 的平面面可能位于 $f$ 的三线性插值近似（其具有相同的下确界）的水平集的任一侧，该结果仍然被证明。该证明反而构造了角样本的凸提升，并表明每个 marching cubes 单元的高侧部分位于其 $\sigma$-超水平部分的投影中，而该投影不能包含 $f^{-1}(0)$ 的点。
英文摘要
Given a grid-sampled 1-Lipschitz function $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ (such as a signed distance function) sampled on a regular grid, we determine the sharp infimum $σ_\star$ such that for every $σ> σ_\star$ the true zero-level set $f^{-1}(0)$ is contained in the marching cubes mesh for $f = σ$. For grids with spacing $h$, the sharp infimum is $σ_\star = \frac{\sqrt{3}}{2} h$. This result is proven \emph{despite} the planar marching cube faces potentially lying on either side of the level set of the trilinearly interpolated approximation of $f$ (which shares the same infimum). The proof instead constructs a convex lift of the corner samples and shows that the high-side portion of each marching-cubes cell lies in the projection of its $σ$-superlevel portion, which cannot contain a point of $f^{-1}(0)$.
