AI 中文总结
本文研究 $\ell^p$ 空间上广义 Hilbert 算子的有界性与本质范数，发现块均值数据在指数增长划分下仅刻画有界性，在次指数增长下可精确计算本质范数，并证明其与 $\limsup_j G(j)$ 相当。
AI 中文摘要
我们研究了在 $\ell^p$ 空间（$1<p<\infty$）上的广义 Hilbert（矩阵）算子 $$ H_{g,\gamma}: (a_n) \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{k}{n}\bigg)^{\gamma} \frac{g_k a_n}{n+k} $$，其中 $g=(g_n)$ 是一个序列，且 $-1/p<\gamma <1-1/p$。给定自然数的一个划分 $\bigcup_j I_j = \mathbb N$，我们通过 $g$ 在集合 $I_j$ 上的 $\ell^p$ 均值 $G_j$ 将 $g$ 编码到我们的研究中。我们证明，如果 $I_j$ 呈指数增长，则数据 $(G_j)$ 能刻画有界性，但不足以确定本质范数的精确值。然而，如果 $(I_j)$ 的增长率为次指数，且尾部收敛，则相应的数据 $(G_j)$ 足以确定精确值，此时我们也计算了该值。此外，我们证明了 $(G_j)$ 的有界性是充分但不必要的（以及必要但不充分的）条件，分别当底层划分 $(I_j)$ 呈次指数（以及超指数）增长时，确保 $H_{g,\gamma}$ 有界。利用对偶算子，我们还证明了当 $(I_j)$ 呈指数增长时，$H_{g,\gamma}$ 的本质范数与 $\limsup_j G(j)$ 相当。
英文摘要
We examine the generalized Hilbert (matrix) operators $$ H_{g,γ} : (a_n) \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \bigg(\frac{k}{n}\bigg)^γ \frac{g_k a_n}{n+k} $$ on the $\ell^p$ spaces, $1<p<\infty$, where $g=(g_n)$ is a sequence and $-1/p<γ<1-1/p$. Given a partition of the natural numbers $\bigcup_j I_j = \mathbb N$, we encode $g$ to our investigation via its $\ell^p$-means $G_j$ over the sets $I_j$. We prove that if $I_j$ increases exponentially, the data $(G_j)$ characterizes boundedness, but is insufficient to determine the exact value of the essential norm. Nonetheless, if the growth rate of $(I_j)$ is subexponential, the corresponding data $(G_j)$, given that the tail converge, is sufficient to determine the exact value, in which case we also calculate it. Moreover, it is shown that the boundedness of $(G_j)$ is sufficient, but not necessary (and necessary, but not sufficient) to ensure $H_{g,γ}$ is bounded if the underlying partition $(I_j)$ increases subexponentially (and superexponentially, respectively). Using the dual operator, we also prove that the essential norm of $H_{g,γ}$ is comparable with $\limsup_j G(j)$ when $(I_j)$ grows exponentially.
Comments10 pages
