具有循环系统的拟阵是正则的
Matroids with cycle systems are regular
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- Texas State University（德克萨斯州立大学）
- Cornell University（康奈尔大学）
- Harvey Mudd College（哈维穆德学院）
- Amherst College（阿默斯特学院）
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中文总结 AI 辅助
本文证明具有循环系统的拟阵必为正则（即可在任何域上表示），从而肯定回答相关猜想，并进一步得出连通拟阵的循环系统构成其电路空间的基。
中文摘要 AI 辅助
拟阵 $M$ 的循环系统是一族循环（电路的并集），其交集性质模仿图的割集。循环系统由 Corry、第一作者、McClain、Perkinson 和 Yi 引入，他们证明了任何承认循环系统的拟阵的 $h$-向量是纯 $O$-序列，从而证实了 Stanley 对此类拟阵的一个猜想。这些作者还猜想任何承认循环系统的拟阵必定是二元的。在此我们肯定地回答这一猜想，并证明更强的结果：任何这样的拟阵实际上必定是正则的（即可在任何域上表示）。由此我们得出结论：若 $M$ 是连通的，则 $M$ 的每个循环系统都是其电路空间的一组基。我们还顺带建立了循环系统的其他性质，这些性质可能具有独立的意义。
英文摘要
A cycle system for a matroid $M$ is a collection of cycles (unions of circuits) whose intersection properties mimic the cut sets of a graph. Cycle systems were introduced by Corry, the first author, McClain, Perkinson, and Yi, who showed that the $h$-vector of any matroid that admits a cycle system is a pure $O$-sequence, confirming a conjecture of Stanley for this class. Those authors also conjectured that any matroid admitting a cycle system must be binary. Here we answer this conjecture in the affirmative, and prove the stronger result that any such matroid must in fact be regular (representable over any field). From this, we conclude that if $M$ is connected, every cycle system for $M$ is a basis for its circuit space of. We establish other properties of cycle systems along the way, which may be of independent interest.
