满足最优刚性估计的 $\mathbb{R}^{m \times n}$ 子流形的刻画
A characterization of submanifolds of $\mathbb{R}^{m \times n}$ satisfying optimal rigidity estimates
中文总结 AI 辅助
本文刻画了满足最优刚性估计的矩阵值子流形条件，证明其等价于序列刚性与切空间精确刚性，并证明该估计在图形扰动下稳定，关键技术为推广 John-Nirenberg 不等式。
中文摘要 AI 辅助
设 $K \subset \mathbb{R}^{m \times n}$ 为带边界的紧致 $C^1$ 子流形，$p \in (1,\infty)$，$Q := (0,1)^n$。我们证明：$K$ 满足形如 $\\|Du - (Du)_{Q}\\|_{L^p} \leq C \\|\mathrm{dist}_K(Du)\\|_{L^p}$（$u \in W^{1,p}(Q,\mathbb{R}^m)$）的刚性估计，当且仅当 $K$ 满足序列刚性，且对每个 $A \in K$，$K$ 在 $A$ 处的切空间满足精确刚性。我们进一步证明该刚性估计在 $K$ 的小幅图形扰动下是稳定的。关键技术要素是证明：在某个极大函数 $\mathrm{dist}_K^p(Du)$ 取值较大的小坏集之外，$\lvert Du - (Du)_Q\rvert$ 的超水平集的大小呈指数衰减。这是通过将 John-Nirenberg 不等式推广到 $BMO$ 函数来实现的。
英文摘要
Let $K \subset \mathbb{R}^{m \times n}$ be a compact $C^1$-submanifold with boundary, $p \in (1,\infty)$ and $Q := (0,1)^n$. We prove that $K$ satisfies a rigidity estimate of the form $\|Du - (Du)_{Q}\|_{L^p} \leq C \|\mathrm{dist}_K(Du)\|_{L^p}$, $u \in W^{1,p}(Q,\mathbb{R}^m)$, if and only if $K$ satisfies sequential rigidity and for each $A \in K$, the tangent space to $K$ at $A$ satisfies exact rigidity. We further prove that this rigidity estimate is stable under small graphical perturbations of $K$. The key technical ingredient is proving that outside some small bad set where the maximal function of $\mathrm{dist}_K^p(Du)$ is large, the size of the superlevel sets of $\lvert Du - (Du)_Q\rvert$ decays exponentially. This is achieved by an adaptation of the John-Nirenberg inequality for $BMO$-functions.
