发表机构
DIpartimento di MAtematica e Informatica Ulisse Dini（乌利塞·迪尼数学与计算机科学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明对满足近似梯度可积的$\mathrm{BV}^{\mathcal{A}}$函数，通过端点Korn型估计可得其属于$\mathrm{BV}$，并给出两空间差集的刻画。
AI 中文摘要
在这篇短注记中，我们证明：给定一个 $\mathbb{C}$-椭圆算子 $\mathcal{A}$ 和一个满足 $\nabla_{\mathrm{ap}}u\in L^1(\Omega;V\otimes\mathbb{R}^d)$ 的映射 $u\in \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(\Omega;V)$，则 $u\in \mathrm{BV}(\Omega;V)$。该结果是定量的，并源自Korn型估计 \\[ |Du|(\Omega) \leq C_{d,\mathcal{A}}\left( \\|\nabla_{\mathrm{ap}}u\\|_{\mathrm{L}^1(\Omega)} + |\mathcal{A}u|(\Omega) \right), \\] 该估计对每个这样的 $u\in \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(\Omega;V)$ 均成立。作为推论，我们得到刻画 \\[ \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(\Omega;V)\setminus \mathrm{BV}(\Omega;V) = \left\{ u\in \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(\Omega;V): \nabla_{\mathrm{ap}}u\notin L^1(\Omega;V\otimes\mathbb{R}^d) \right\}. \\] 已利用生成式人工智能，其使用详情见特定章节。
英文摘要
In this short note we prove that, given a $\mathbb{C}$-elliptic operator $\mathcal{A}$ and a map $u\in \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(Ω;V)$ satisfying \( \nabla_{\mathrm{ap}}u\in L^1(Ω;V\otimes\mathbb{R}^d), \) then $u\in \mathrm{BV}(Ω;V)$. The result is quantitative and follows from the Korn-type estimate \[ |Du|(Ω) \leq C_{d,\mathcal{A}}\left( \|\nabla_{\mathrm{ap}}u\|_{\mathrm{L}^1(Ω)} + |\mathcal{A}u|(Ω) \right), \] valid for every such $u\in \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(Ω;V)$. As a consequence, we obtain the characterization \[ \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(Ω;V)\setminus \mathrm{BV}(Ω;V) = \left\{ u\in \mathrm{BV}^{\mathcal{A}}(Ω;V): \nabla_{\mathrm{ap}}u\notin L^1(Ω;V\otimes\mathbb{R}^d) \right\}. \] Generative AI has been exploited. The usage is detailed in a specific Section.
