Kolyvagin猜想在非普通素数处

中文摘要 AI 辅助

设 $K$ 为虚二次域，$p \ge 5$ 为在 $K$ 中不分歧的素数。设 $\mathcal{A}_f/\mathbb{Q}$ 为与权二模形式 $f$ 相关的 $\mathrm{GL}_2$ 型阿贝尔簇，在 $p$ 处具有好的非普通约化，并假设 $(f,K)$ 满足广义 Heegner 假设。在 $p$ 在 $K$ 中惰性的情形下，我们进一步假设 $\mathcal{A}_f$ 是椭圆曲线。我们为反cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-扩张上的带符号 Selmer 群建立了一个 Euler 特征公式，该公式适用于相应 Selmer 模具有任意 $\Lambda$-秩的情形。假设带符号 Iwasawa 主猜想中的一个包含关系成立，我们应用此公式证明了关于 Heegner 点所附 Kolyvagin 系统非零性的 Kolyvagin 猜想。我们的结果将 Wei Zhang、Burungale--Castella--Grossi--Skinner、Castella--Sano 和 Kim 在普通情形下的结果推广到非普通情形，并在不同假设下补充了 Sweeting 和 Kim 在非普通情形下的工作。我们还研究了惰性情形下例外零点现象对 Iwasawa 主猜想的影响。

英文摘要

Let $K$ be an imaginary quadratic field and let $p \ge 5$ be a prime that is unramified in $K$. Let $\mathcal{A}_f/\mathbb{Q}$ be an abelian variety of $\mathrm{GL}_2$-type associated with a weight-two modular form $f$, with good non-ordinary reduction at $p$, and suppose that $(f,K)$ satisfies the generalized Heegner hypothesis. In the case where $p$ is inert in $K$, we further assume that $\mathcal{A}_f$ is an elliptic curve. We develop an Euler-characteristic formula for signed Selmer groups over anticyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions that applies when the corresponding Selmer modules have arbitrary $Λ$-rank. Assuming one inclusion in the signed Iwasawa main conjecture, we apply this formula to prove Kolyvagin's conjecture on the non-vanishing of the Kolyvagin system attached to Heegner points. Our results extend to the non-ordinary setting the results of Wei Zhang, Burungale--Castella--Grossi--Skinner, Castella--Sano and Kim in the ordinary case, and complement the works of Sweeting and Kim in the non-ordinary case under different hypotheses. We also study the effect of the exceptional zero phenomenon on the Iwasawa main conjecture in the inert case.

发表机构

• University of Ottawa（渥太华大学）
• Morningside Center of Mathematics（数学与系统科学研究院）

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