AI 中文总结
本文证明了对数 Riemann--Hurwitz 不等式及其严格版本，并应用于曲线模空间，得出带层级结构的模空间的有限满射自态射必为同构。
AI 中文摘要
设 $\overline{Z}$ 是一个光滑射影簇，$D$ 是一个简单正规交叉因子，使得 $\Omega_{\overline{Z}}^1(\log D)$ 是 nef 的。我们证明：若 $Y\subset Z:=\overline Z\setminus D$ 是光滑闭子簇且欧拉示性数非零，$P$ 是 $Y$ 上具有全支撑的 perverse 层，则 $\chi(Y,P)>0$。这是 arXiv:2408.15788 中所得不等式的一个严格版本。将此应用于有限直像的迹零部分，得到对数 Riemann--Hurwitz 不等式：若 $Y$ 的维数为 $n$，任何次数为 $d$ 的有限满射态射 $f\colon X\to Y$（$X$ 光滑）满足 $(-1)^n\chi(X)\ge d\\,(-1)^n\chi(Y)$，其差为若干非负相交数的显式求和。当 $(-1)^n\chi(Y)>0$ 时，这迫使任何满足 $\chi(X)=\chi(Y)$ 的这样的 $f$ 成为同构。我们验证了半阿贝尔簇的子簇以及曲线模空间 $\overline{\mathscr M}_{g,n}$ 的 nef 假设，特别得到：带层级结构的曲线模空间的每个有限满射自态射都是同构。
英文摘要
Let $\overline{Z}$ be a smooth projective variety with an simple normal crossing divisor $D$ such that $Ω_{\overline{Z}}^1(\log D)$ is nef. We prove that if $Y\subset Z:=\overline Z\setminus D$ is a smooth closed subvariety with nonzero Euler characteristic, and $P$ is a perverse sheaf on $Y$ with full support, then $χ(Y,P)>0$. This is a strict version of an inequality obtained in arXiv:2408.15788. Applying this to the trace-zero part of a finite direct image yields a logarithmic Riemann--Hurwitz inequality: if $Y$ has dimension $n$, any finite surjective morphism $f\colon X\to Y$ of degree $d$ with $X$ smooth satisfies $(-1)^nχ(X)\ge d\,(-1)^nχ(Y)$, the difference being an explicit sum of nonnegative intersection numbers. When $(-1)^nχ(Y)>0$ this forces any such $f$ with $χ(X)=χ(Y)$ to be an isomorphism. We verify the nef hypothesis for subvarieties of semiabelian varieties, and for $\overline{\mathscr M}_{g,n}$---the moduli of curves, obtaining in particular that every finite surjective self-morphism of a moduli space of curves with level structure is an isomorphism.
