离散聚集树的收敛性与紧致性
Convergence and compactness of discrete aggregation trees
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中文总结 AI 辅助
研究一类随机聚集树的缩放极限，证明在特定缩放下收敛到紧致聚集树，并确定紧致性的尖锐阈值，解决相关开放问题。
中文摘要 AI 辅助
我们研究一类随机聚集树，它推广了均匀标记树的离散粘性断裂构造（Aldous，1991）。为了采样大小为 $n$ 的树，顶点按顺序添加，第 $i$ 个顶点以规定的概率 $f(n,i)$ 开始一个新分支；否则，它延伸当前分支。我们还通过将布朗连续随机树构造中的强度为 $tdt$ 的泊松点过程替换为强度为 $f(t)dt$ 的过程，定义了连续模拟。我们在 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑中建立了两个离散聚集树族的缩放极限。当 $f(n,i)=(i/n)^\beta$，且 $\beta>0$ 时，在将图距离按 $n^{-\beta/(\beta+1)}$ 重新缩放后，随机树收敛到具有 $f(t)=t^\beta$ 的紧致聚集树。这恢复了当 $\beta=1$ 时向布朗连续随机树的收敛（Aldous，1991），以及整数 $\beta$ 的选择生成树的缩放极限（Archer 和 Shalev，2024）。我们还证明了在重新缩放下，对于每个 $\gamma>1$，收敛到具有 $f(t)=\log^\gamma(1+t)$ 的紧致聚集树。最后，我们确定了紧致性的必要条件。因此，对数族中的阈值 $\gamma>1$ 是尖锐的。这些结果为随机聚集树的紧致性准则的开放问题提供了见解（Curien 和 Haas，2014）。
英文摘要
We study a class of random aggregation trees that generalizes the discrete stick-breaking construction of the uniform labelled tree (Aldous, 1991). To sample the tree of size $n$, vertices are added sequentially, with the $i$th vertex starting a new branch with a prescribed probability $f(n,i)$; otherwise, it extends the current branch. We also define a continuum analogue by replacing the Poisson point process of intensity $tdt$ in the construction of the Brownian continuum random tree by one of intensity $f(t)dt$. We establish scaling limits for two families of discrete aggregation trees in the Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology. When $f(n,i)=(i/n)^β$, with $β>0$, after rescaling the graph distance by $n^{-β/(β+1)}$, the random tree converges to the compact aggregation tree with $f(t)=t^β$. This recovers convergence to the Brownian continuum random tree when $β=1$ (Aldous, 1991), as well as scaling limits of choice spanning trees for integer $β$ (Archer and Shalev, 2024). We also prove convergence under rescaling to the compact aggregation tree with $f(t)=\log^γ(1+t)$ for every $γ>1$. Finally, we identify necessary conditions for compactness. Consequently, the threshold $γ>1$ in the logarithmic family is sharp. These results provide insight into an open problem on compactness criteria for random aggregation trees (Curien and Haas, 2014).
发表机构
- Bernoulli Institute for Mathematics, Computer Science and Artificial Intelligence（伯努利数学、计算机科学与人工智能研究所）
- CogniGron（认知格罗宁根研究中心）
- Faculty of Mathematics, Ruhr University Bochum（鲁尔大学波鸿分校数学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
