有界指数群中的投影与纤维化
Projection and fibering in groups of bounded exponent
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中文总结 AI 辅助
本文提出投影与纤维化方法，证明有界指数群中具有小倍增的集合生成的子群大小受指数幂次控制，并推广到2步幂零群，回答Ruzsa问题。
中文摘要 AI 辅助
我们为（不一定是阿贝尔的）离散群中具有小组合倍增的集合发展了一种投影与纤维化方法。作为应用，在阿贝尔情形下，我们证明：若$A$是有限的，环境群的指数为$r$，且$|A+A|\leq K|A|$，则\\[ |\langle A\rangle|\leq r^{(2+o(1))K}|A|. \\] 这回答了Ruzsa的一个问题，并给出了最优首项系数，独立于Fox--Pham的工作。主要成分是纤维溢出论证的离散版本。对于指数为$r$的$2$-步幂零群中的集合，我们还证明$|A^3|\leq K|A|$蕴含$|\langle A\rangle|\leq r^{(2+o_K(1))K}|A|$。证明将阿贝尔定理与中心纤维和换位子的加权平均相结合。
英文摘要
We develop a projection and fibering method for sets of small combinatorial doubling in (not necessarily abelian) discrete groups. As an application, in the abelian case we prove that, if $A$ is finite, the ambient group has exponent $r$, and $|A+A|\leq K|A|$, then \[ |\langle A\rangle|\leq r^{(2+o(1))K}|A|. \] This answers a question of Ruzsa with an optimal leading coefficient, independent of Fox--Pham. The main ingredient is a discrete version of a fiber spillover argument. For sets in $2$-step nilpotent groups of exponent $r$, we also prove that $|A^3|\leq K|A|$ implies $|\langle A\rangle|\leq r^{(2+o_K(1))K}|A|$. The proof combines the abelian theorem with a weighted averaging of central fibers and commutators.
发表机构
- Ohio State University（俄亥俄州立大学）
- Optiver（奥维特）
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