发表机构
School of Mathematics, Shandong University; Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal; Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University; Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（山东大学数学学院; 蒙特利尔大学数学与统计系; 清华大学丘成桐数学科学中心; 北京数学科学与应用研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明扩展Rademacher随机乘法函数的部分和几乎必然存在超过$\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4}/V(x)$的大正负波动，从而肯定回答Erdős问题#1144，并推论出符号变化次数的几乎必然下界。
AI 中文摘要
设$f$为扩展Rademacher随机乘法函数（RMF）。我们证明，对于每个趋于无穷的固定确定性函数$V(x)$，几乎必然存在任意大的$x$使得\\[ \sum_{n\leq x}f(n) \geq \frac{\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4}}{V(x)}. \\] 相应的负波动同样成立。特别地，这给出了Erdős问题\\#1144的肯定回答。作为副产品，我们的结果有一个直接推论，给出新的几乎必然下界$\log\log x$，关于直到$x$的部分和符号变化次数，对所有足够大的$x$成立。
英文摘要
Let $f$ be an extended Rademacher random multiplicative function (RMF). We show that, for every fixed deterministic function $V(x)$ tending to infinity, almost surely there are arbitrarily large $x$ for which \[ \sum_{n\leq x}f(n) \geq \frac{\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4}}{V(x)}. \] The corresponding negative fluctuation holds as well. In particular, this gives an affirmative answer to Erdős Problem~\#1144. As a byproduct, our result has a direct corollary giving new almost sure lower bounds $\log\log x$ on the number of sign changes of partial sums up to $x$ for all sufficiently large $x$.
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