AI 中文总结
本文研究由迭代和定义的拟模形式 $G_{\{2\}^n}$ 的零点，证明其零点个数、简单性、交错性、渐近行为及超越性，并给出特殊情形 $G_{2,2}$ 中 Ford 圆上的零点分布。
AI 中文摘要
我们研究由迭代和定义的拟模形式 $G_{\{2\}^n}$ 的零点。首先证明，对于每个 $n>0$，$G_{\{2\}^n}$ 在垂直半直线 $\Real(\tau)=0$ 和 $\Real(\tau)=1/2$ 上恰好有 $n$ 个简单零点，并且相邻 $n$ 值的零点满足交错性质。证明基于 $G_{\{2\}^n}$ 用 $\eta^3$ 的 $n$ 阶导数表示以及钟形函数理论，而非 Rankin--Swinnerton-Dyer 方法。我们还确定了这些零点在 $n\to\infty$ 时的渐近行为。此外，我们证明 $G_{\{2\}^n}$ 的所有零点都是简单的，并且 $G_{\{2\}^n}$ 有无限多个 $SL_2(\ZZ)$-不等价的零点。我们进一步建立了最大深度拟模形式零点的超越性结果，这特别意味着 $G_{\{2\}^n}$ 的所有零点都是超越数。最后，在特殊情形 $G_{2,2}$ 中，我们证明每个 Ford 圆恰好包含两个不同的简单零点。
英文摘要
We study the zeros of the quasimodular forms $G_{\{2\}^n}$ defined by iterated sums. We first show that, for every $n>0$, $G_{\{2\}^n}$ has exactly $n$ simple zeros on each of the vertical half-lines $\Real(τ)=0$ and $\Real(τ)=1/2$, and that the zeros for consecutive values of $n$ satisfy an interlacing property. The proof is based on an expression of $G_{\{2\}^n}$ in terms of the $n$-th derivative of $η^3$ and on the theory of bell-shaped functions, rather than on Rankin--Swinnerton-Dyer method. We also determine the asymptotic behavior of these zeros as $n\to\infty$. In addition, we prove that all zeros of $G_{\{2\}^n}$ are simple and that $G_{\{2\}^n}$ has infinitely many $SL_2(\ZZ)$-inequivalent zeros. We further show that quasimodular forms of maximal depth have no zeros at CM points. In particular, none of the zeros of $G_{\{2\}^n}$ are CM points. Finally, in the special case $G_{2,2}$, we show that each Ford circle contains exactly two distinct simple zeros.
