发表机构
Delft University of Technology; Leiden University（代尔夫特理工大学; 莱顿大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造了指数稳定的 $C_0$-半群，使得随机卷积在正概率下无界，并利用必要条件与 Schauder 乘子给出反例，同时在更强条件下建立了连续性与极大估计。
AI 中文摘要
我们在希尔伯特空间 $X$ 上构造了紧的、指数稳定的 $C_0$-半群 $S$，使得对于每个 $T>0$，对于某个可预测的 $g\in L^\infty(\Omega;L^2(0,T;X))$，随机卷积 $U_g(t)=\int_0^t S(t-s)g(s)\\,\mathrm{d}\beta_s$ 在 $[0,T]$ 上以正概率无界，其中 $\beta$ 是实布朗运动。一个例子甚至是解析半群。对于另一个例子，负生成元 $A$ 具有扇形角 $\pi/2$ 和有界 $H^\infty$-演算。我们的主要工具是一个必要条件：对于指数稳定的半群，在 $\mathbb R_+$ 上的 $L^2$-极大估计迫使负生成元满足下平方函数估计。我们从一个新的恒等式推导出这个蕴含关系，该恒等式涉及随机卷积、从属泊松半群和停时布朗运动。将此条件与条件三角基上的 Schauder 乘子相结合，可以得到极大估计的反例。然后通过外推论证产生具有无界随机卷积的被积函数。最后，能量适应的链式论证在更强的条件 $g\in L^2([0,T]; L^\infty(\Omega;X))$ 下给出了任意 $C_0$-半群的连续性和极大估计。
英文摘要
We construct compact, exponentially stable $C_0$-semigroups $S$ on Hilbert spaces $X$ such that, for every $T>0$, the stochastic convolution $U_g(t)=\int_0^t S(t-s)g(s)\,\mathrm{d}β_s $ is unbounded on $[0,T]$ with positive probability for some predictable $g\in L^\infty(Ω;L^2(0,T;X))$, where $β$ is a real Brownian motion. One example is even an analytic semigroup. For the other, the negative generator $A$ has sectorial angle $π/2$ and a bounded $H^\infty$-calculus. Our main tool is a necessary condition: for exponentially stable semigroups, an $L^2$-maximal estimate on $\mathbb R_+$ forces a lower square-function estimate for the negative generator. We deduce this implication from a new identity involving the stochastic convolution, the subordinated Poisson semigroup, and a stopped Brownian motion. Combining this condition with Schauder multipliers on a conditional trigonometric basis yields counterexamples to the maximal estimate. An extrapolation argument then produces the integrands with unbounded stochastic convolutions. Finally, an energy-adapted chaining argument gives continuity and maximal estimates for arbitrary $C_0$-semigroups under the stronger condition $g\in L^2([0,T]; L^\infty(Ω;X))$.
Comments19 pages
