发表机构
UCLouvain; Imperial College London（鲁汶大学; 帝国理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出一种通过确定性时间变换校准结构模型的方法，将违约时间建模为首次通过时间，并证明 AT1P 模型可视为时间变换的布朗运动，从而实现快速精确校准。
AI 中文摘要
在本文中，我们提出了一种通用的结构方法来建模违约时间 $\tau$，将其视为（“公司价值”）过程 $S$ 首次低于（“债务”）障碍 $K$ 的首次通过时间（FPT），并使其符合预先指定的生存概率曲线 $G(t)=\Pr(\tau>t)$。遵循 Mbaye 和 Vrins（《数学金融》，2022年）应用于简约模型的思想，我们的方法包括两个步骤：首先选择一个由障碍 $\tilde{K}$ 和过程 $\tilde{S}$ 驱动的潜在 FPT 模型，然后使用确定性时钟 $\Theta$ 对其进行时间变换，得到 $K_t=\tilde{K}_{\Theta(t)}$ 和 $S_t:=\tilde{S}_{\Theta(t)}$，从而得到最终的 FPT 模型 $(K,S,\Theta)$。由于市场曲线 $G$ 和潜在模型 $(\tilde{K},\tilde{S})$ 被假定为已知，校准步骤仅需找到时钟 $\Theta$，使得 $S$ 低于 $K$ 的 FPT 分布与生存曲线 $G$ 一致。我们证明，对于广泛类别的指定曲线 $G$ 和潜在 FPT 模型，这是可实现的。校准归结为对函数的简单求逆，只要潜在模型足够易于处理，这几乎是即时的。特别地，我们证明 Brigo、Morini 和 Tarenghi 的 AT1P 模型——该模型能够重现广泛的 CDS 期限结构——可以被视为时间变换的带漂移布朗运动对常数障碍的 FPT：$\tilde{V}_t=\mu t+W_t$ 和 $\tilde{K}_t=k<0$。这一联系为 AT1P 中特有的瞬时波动率函数提供了优雅的解释，并使得后者能够立即校准以完美匹配目标生存曲线。
英文摘要
In this note, we propose a general structural approach to model a default time $τ$ as the first-passage time (FPT) of a (``firm-value'') process $S$ below a (``debt'') barrier $K$ that comply with a pre-specified survival probability curve $G(t)=\Pr(τ>t)$. Following an idea of Mbaye and Vrins (Mathematical Finance, 2022) applied to reduced-form models, our approach consists in two steps: choose a latent FPT model driven by a barrier $\tilde{K}$ and process $\tilde{S}$, and time-change those using a deterministic clock $Θ$ to get $K_t=\tilde{K}_{Θ(t)}$ and $S_t:=\tilde{S}_{Θ(t)}$, leading to the final FTP model $(K,S,Θ)$. As the market curve $G$ and the latent model $(\tilde{K},\tilde{S})$ are assumed to be given, the calibration step simply consists in finding the clock $Θ$ such that the distribution of the FPT of $S$ below $K$ coincides with the survival curve $G$. We show that this is achievable for a broad class of specified curves $G$ and latent FTP models. The calibration amounts to a simple inversion of a function, which is almost immediate provided that the latent model is tractable enough. In particular, we show that the AT1P model of Brigo, Morini and Tarenghi - which is able to reproduce a broad range of CDS term-structures - can be regarded as the FPT of a time-changed drifted Brownian motion to a constant barrier: $\tilde{V}_t=μt+W_t$ and $\tilde{K}_t=k<0$. This connection offers an elegant interpretation for the instantaneous volatility function featured in AT1P and yields an immediate calibration of the latter to perfectly match a target survival curve.
