Erdős--Rényi 随机图中近生成方形网格的局部搜索
Local Search for Almost-Spanning Square Grids in Erdős--Rényi Random Graphs
- Maastricht University（马斯特里赫特大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文针对 Erdős--Rényi 随机图中的近生成方形网格嵌入问题，提出三阶段隔离局部搜索算法，在密度仅为 $\sqrt{\log n/n}$ 时即可高概率嵌入 $k\times k$ 网格，逼近理论下界。
AI中文摘要：
在稀疏的 Erdős--Rényi 随机图中寻找大的格子子图是随机图理论与算法交叉领域的一个经典问题。一般的有界度嵌入和普适性定理对广泛的图族给出了强有力的结果，但当它们专门应用于方形网格时，它们所需的密度远高于网格涌现的临界尺度。在本文中，我们利用了方形网格的特定几何结构。我们引入了“隔离局部搜索”（Quarantined Local Search），这是一种三阶段局部算法，它将初始边界的构造与后续的角闭合过程分离开来，并通过有界成对测试历史来控制自适应负暴露。我们证明，对于每个固定的 $\delta\in (0,1)$，存在 $C_\delta>0$，使得当 $p\ge C_\delta\sqrt{\ln k/n}$ 时，该算法能以高概率在 $G(n,p)$ 中嵌入一个 $k\times k$ 的方形网格，其中 $k^2\le (1-\delta)n$。因此，对于 $k^2=\Theta(n)$，密度阶为 $\sqrt{\log n/n}$ 就足够了，这比相应的 $n^{-1/2}$ 涌现尺度高出一个 $\sqrt{\log n}$ 的因子。
英文摘要：
Finding large lattice subgraphs in sparse Erdős--Rényi random graphs is a classical problem at the interface of random graph theory and algorithms. General bounded-degree embedding and universality theorems give powerful results for broad graph families, but when specialized to square grids they operate at densities substantially larger than the grid-emergence scale. In this paper we exploit the specific geometry of the square grid. We introduce the Quarantined Local Search, a three-phase local algorithm that separates the construction of an initial boundary from the later corner-closure process and controls adaptive negative exposure through bounded pair-test histories. We prove that, for every fixed $δ\in (0,1)$, there exists $C_δ>0$ such that the algorithm embeds a $k\times k$ square grid with $k^2\le (1-δ)n$ in $G(n,p)$ with high probability whenever $p\ge C_δ\sqrt{\ln k/n}$. Thus, for $k^2=Θ(n)$, a density of order $\sqrt{\log n/n}$ is sufficient, a factor of order $\sqrt{\log n}$ above the corresponding $n^{-1/2}$ emergence scale.
