强小-2 集但非 Riesz 集
Strongly small-2 sets that are not Riesz sets on compact abelian groups
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中文总结 AI 辅助
本文在离散阿贝尔群的紧对偶群上构造了强小-2但非Riesz集的谱集，结合有限交集准则与可和扰动，并证明了相关测度空间具有奇异性和平方零商结构。
中文摘要 AI 辅助
我们在离散阿贝尔群中构造了强小-2 但非 Riesz 集的谱集。更精确地说，在紧群 (\mathbb Z/6\mathbb Z)^{\mathbb N} 和 (\mathbb Z/p\mathbb Z)^{\mathbb N}（其中 p 为奇素数）上，存在一个真谱集 E，使得对于所有 \alpha,\beta\in M_E(G)，有 |\alpha|*|\beta| \ll m，尽管 M_E(G) 包含一个非零奇异测度。后者可以选择具有总质量 1、傅里叶支撑恰好为 E，且卷积平方在 L^2(G) 中。该构造结合了一个初等的有限交集准则与一个奇异正乘积测度的可和扰动。在第一个模型中，相同的全谱支撑允许一个具有精确 \ell^2 绝对连续/奇异二分法的振幅族。它还产生了一个不可数的两两奇异测度族，以及在平方零商 M_E(G)/L^1_E(G) 中 \ell^1((0,1/2]) 的一个等距副本。
英文摘要
We prove that every infinite compact abelian group $G$ admits a countably infinite proper set $E\subset\widehat G$ that is strongly small-2 but not Riesz. More precisely, $|α|*|β|$ is absolutely continuous for all $α,β\in M_E(G)$, whereas $M_E(G)$ contains a singular complex measure of total mass one with exact Fourier support $E$ whose convolution square belongs to $L^2(G)$. When the image of the doubling map on $\widehat G$ is infinite, $E$ may moreover be chosen so that $\#(E\cap(γ-E))<\infty$ for every $γ$ and $E\cap(-E)=\{0\}$. When that image is finite, we reduce the problem to a nonrectangular construction on the Walsh group, for which $E\cap(E+γ)$ is finite at every nonzero shift.
发表机构
- University of Warsaw（华沙大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
