发表机构
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
研究MYULA采样算法，证明其与Moreau平滑目标间的Wasserstein距离误差界，结合离散Poisson校正子等方法，实现O(ε^{-4/3})次迭代达到精度ε。
AI 中文摘要
我们研究经典的 Moreau--Yosida 非调整 Langevin 算法（MYULA），用于采样分布 $\pi(\\,\mathrm{d} x)\propto e^{-f(x)-g(x)}\\,\mathrm{d} x$，其中 $f\in C^2(\mathbb{R}^d)$ 是 $m$-强凸且具有 $L_f$-Lipschitz 梯度，$g:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ 是凸且全局 $G$-Lipschitz 的。对于 Moreau 平滑目标 $\pi_\lambda$ 和 MYULA 不变分布 $\widehat\pi_{\lambda,h}$，我们证明在 $0<h(L_f+\lambda^{-1})\le c$ 条件下，$\sqrt m\\,W_2(\pi_\lambda,\widehat\pi_{\lambda,h}) =O(h)+\widetilde O(h^{3/4})$，且误差系数仅对 $\lambda^{-1}$ 有对数依赖。将该估计与 Moreau 近似偏差结合，对于固定模型参数和初始化，达到 $\sqrt m\\,W_2(\mu_N,\pi)\le\varepsilon$ 需要 $\widetilde O(\varepsilon^{-4/3})$ 次迭代。证明结合了离散 Poisson 校正子、活动迹估计以及精确-Euler 两点曲率的共享噪声界。
英文摘要
We study the classical Moreau--Yosida unadjusted Langevin algorithm (MYULA) for $π(\,\mathrm{d} x)\propto e^{-f(x)-g(x)}\,\mathrm{d} x$, where $f\in C^2(\mathbb{R}^d)$ is $m$-strongly convex with $L_f$-Lipschitz gradient and $g:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}$ is convex and globally $G$-Lipschitz. For the Moreau-smoothed target $π_λ$ and the MYULA invariant law $\widehatπ_{λ,h}$, we prove \[ \sqrt m\,W_2(π_λ,\widehatπ_{λ,h}) =O(h)+\widetilde O(h^{3/4}) \] under $0<h(L_f+λ^{-1})\le c$, with only logarithmic dependence on $λ^{-1}$ in the error coefficients. Combining this estimate with the Moreau approximation bias yields $\widetilde O(\varepsilon^{-4/3})$ iterations to achieve $\sqrt m\,W_2(μ_N,π)\le\varepsilon$, for fixed model parameters and initialization. The proof combines a discrete Poisson corrector with active-trace estimates and a shared-noise bound for the exact--Euler two-point curvature.
