发表机构
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University; Institut für Mathematik, Universität Mainz（武汉大学数学与统计学院; 美因茨大学数学研究所）
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本文研究 Higgs 丛等单演变形的全纯性，证明绝对提升定理与谱平坦性，并由此证明幂零刚性猜想。
AI 中文摘要
设 $f:X\to S$ 是一个光滑射影族，并固定纤维 $X_0$ 上的一个半单平坦丛。其等单演变形决定了相对 de Rham 模空间 $M_{\mathrm{dR}}(X/S)$ 的一个全纯截面 $\sigma_{\mathrm{dR}}:S\to M_{\mathrm{dR}}(X/S)$。逐纤维应用相对非阿贝尔 Hodge 对应，得到一个截面 $\sigma_{\mathrm{Dol}}:S\to M_{\mathrm{Dol}}(X/S)$，其在每个 $s\in S$ 处的值是平坦丛 $\sigma_{\mathrm{dR}}(s)$ 对应的 Higgs 丛。与 $\sigma_{\mathrm{dR}}$ 不同，截面 $\sigma_{\mathrm{Dol}}$ 一般仅实解析。我们研究其沿复解析子簇的全纯性的几何后果。首先，我们证明一个绝对提升定理：相对等单演 Higgs 丛允许绝对 Higgs 提升，且逐纤维调和度量可被修改以在全空间上求解 Hitchin-Simpson 方程。其次，我们证明相对谱概形的每个解消不可约分量上的谱一次形式是 Gauss-Manin 平坦的。作为应用，我们证明 Hu-Sun-Yang-Zuo 的幂零刚性猜想：若初始 Higgs 场是幂零的，则 Higgs 场沿整个全纯等单演轨迹保持幂零。
英文摘要
Let $f:X\to S$ be a smooth projective family, and fix a semisimple flat bundle on a fiber $X_0$. Its isomonodromic deformation determines a holomorphic section $σ_{\mathrm{dR}}:S\to M_{\mathrm{dR}}(X/S)$ of the relative de Rham moduli space. Applying the relative non-abelian Hodge correspondence fiberwise gives a section $σ_{\mathrm{Dol}}:S\to M_{\mathrm{Dol}}(X/S)$, whose value at each $s\in S$ is the Higgs bundle corresponding to the flat bundle $σ_{\mathrm{dR}}(s)$. Unlike $σ_{\mathrm{dR}}$, the section $σ_{\mathrm{Dol}}$ is in general only real analytic. We study the geometric consequences of its holomorphicity along a complex analytic subvariety. First, we prove an absolute lifting theorem: the relative isomonodromic Higgs bundle admits an absolute Higgs lift, and the fiberwise harmonic metrics can be modified to solve the Hitchin-Simpson equation on the total space. Second, we prove that the spectral one-form on every resolved irreducible component of the relative spectral scheme is Gauss-Manin flat. As an application, we prove the nilpotent rigidity conjecture of Hu-Sun-Yang-Zuo: if the initial Higgs field is nilpotent, then the Higgs field remains nilpotent along the entire holomorphic isomonodromic locus.
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