发表机构
Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Matemáticas; Universität Hamburg, Fachbereich Mathematik; Institut Camille Jordan UMR 5208, Université Jean Monnet, CNRS, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1（墨西哥国立自治大学数学研究所; 汉堡大学数学系; 卡米尔·让数学研究所（UMR 5208），圣艾蒂安大学，法国国家科学研究中心，里昂中央理工学院，里昂国立应用科学学院，里昂第一大学）
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本文证明简单李群辫子簇的簇膨胀作用可延拓至砖紧化，并由此得出闭 Richardson 簇的环面忠实作用及辫子簇为环面的充要条件，进而通过双根自由词为子词复形的多面体性提供新方法并分类相关 Bruhat 区间。
AI 中文摘要
每个簇簇都容许其簇膨胀群的作用。我们证明，在简单李群的辫子簇情形下，该作用总能延拓为每个砖紧化上的正则作用。我们探讨了这一结果的两个应用。首先，我们证明任何闭的 Richardson 簇都容许一个秩为 Kazhdan-Lusztig $d$-不变量的环面的忠实作用，从而肯定地回答了 E. Gorsky--S. Kim--M. Sherman-Bennett 最近提出的一个问题。同样的结果也适用于投影 Richardson 簇。其次，我们证明辫子簇是环面当且仅当对于其每个砖紧化，该作用的矩多面体的极对偶实现了相应的子词复形。满足此性质的辫子词恰好是 V. Pilaud 和 C. Stump 的双根自由词。这为 A. Knutson 和 E. Miller 提出的关于球面子词复形的多面体性的长期未决问题提供了一种新方法，并且特别地给出了在维数高于相应 Coxeter 群秩的情况下具有多面体实现的无限族子词复形。作为这两个应用的共同结果，我们通过某些双根自由词分类了有限晶体 Coxeter 群中所有同构于凸多面体的面格的 Bruhat 区间。
英文摘要
Every cluster variety admits an action of its cluster dilation group. We prove that, in the case of braid varieties for simple Lie groups, this action always extends to a regular action on each of the brick compactifications. We explore two applications of this result. First, we show that any closed Richardson variety admits a faithful action of a torus of rank the Kazhdan-Lusztig $d$-invariant, answering affirmatively a recent question of E. Gorsky--S. Kim--M. Sherman-Bennett. The same result holds for projected Richardson varieties. Second, we show that the braid variety is a torus if and only if for each of its brick compactifications, the polar dual of the moment polytope for this action realizes the corresponding subword complex. The braid words satisfying this property turn out to be precisely the double root free words of V. Pilaud and C. Stump. This provides a novel approach to the longstanding open question of the polytopality of spherical subword complexes asked by A. Knutson and E. Miller, and in particular gives infinite families of subword complexes admitting polytopal realizations in dimension higher than the rank of the corresponding Coxeter group. As a common consequence of these two applications, we classify all Bruhat intervals in finite crystallographic Coxeter groups which are isomorphic to face lattices of convex polytopes via certain double root free words.
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