发表机构
The University of Hong Kong; Xiamen University（香港大学; 厦门大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了 Kac-Moody 群泛型 Hecke 代数的余中心由共轭类典范元素构成基，通过重整化轨道积分新框架解决了线性无关性开放问题。
AI 中文摘要
设 $H$ 为与分裂 Kac-Moody 群 $G$ 相关联的、在 $\mathbb{Z}[\mathbf{q}^{\pm 1}]$ 上的泛型 Hecke 代数，它是其 Weyl 群 $W$ 的群代数的形变。余中心 $\overline{H} = H/[H, H]$ 编码了 $H$ 的迹与特征标理论，在表示论和调和分析中起着基础性作用。通过 Coxeter 群中循环约化的深刻组合结果，$W$ 的每个共轭类 $\mathcal{O}$ 决定了 $\overline{H}$ 中的一个典范元素 $T_{\mathcal{O}}$，并且已知这些元素张成余中心。然而，在有限型和仿射型之外，建立它们的线性无关性一直是一个开放问题。本文解决了这一问题：典范元素构成余中心 $\overline{H}$ 的一个 $\mathbb{Z}[\mathbf{q}^{\pm 1}]$-基。我们的方法不同于有限型和仿射型中先前的表示论方法。为了构造区分所有共轭类的显式泛函，我们发展了一个基于重整化轨道积分的新框架。该框架将抛物诱导、无限维双模的迹以及 Kac-Moody 调和分析综合成余中心的几乎对偶基。作为关键的局部成分，我们建立了有限 Lie 型群的一个泛型对偶定理，将余中心与正则半单共轭类联系起来，并精确确定了该配对何时非退化。最后，我们推导出 $W$ 的泛型类多项式的存在性和唯一性，并证明了分裂 Kac-Moody 群 $G$ 的基本 Deligne-Lusztig 簇的一个统一的“维数=次数”定理。
英文摘要
Let $H$ be the generic Hecke algebra over $\mathbb{Z}[\mathbf{q}^{\pm 1}]$ associated to a split Kac--Moody group $G$, arising as the deformation of the group algebra of its Weyl group $W$. The cocenter $\overline{H} = H/[H, H]$ encodes the trace and character theory of $H$, playing a fundamental role in representation theory and harmonic analysis. Through deep combinatorial results on cyclic reductions in Coxeter groups, each conjugacy class $\mathcal{O}$ of $W$ determines a canonical element $T_{\mathcal{O}}$ in $\overline{H}$, and these elements are known to span the cocenter. However, establishing their linear independence has remained an open problem outside of finite and affine types. In this paper, we solve this problem: the canonical elements form a $\mathbb{Z}[\mathbf{q}^{\pm 1}]$-basis of the cocenter $\overline{H}$. Our approach differs from earlier representation-theoretic methods in finite and affine types. To construct explicit functionals that separate all conjugacy classes, we develop a new framework based on re-normalized orbital integrals. This framework synthesizes parabolic induction, traces of infinite-dimensional bimodules, and Kac--Moody harmonic analysis into an almost-dual basis for the cocenter. As a key local ingredient, we establish a generic duality theorem for finite groups of Lie type relating the cocenter to regular semisimple conjugacy classes, and determine precisely when this pairing is non-degenerate. Finally, we deduce the existence and uniqueness of generic class polynomials for $W$, and prove a uniform ``dimension=degree'' theorem for basic Deligne--Lusztig varieties of the split Kac--Moody group $G$.
Comments66 pages
