正则多部竞赛图的4-弧泛圈性
4-Arc-Pancyclicity of Regular Multipartite Tournaments
- Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
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AI总结：
本文证明正则多部竞赛图在部数足够大时具有4-弧泛圈性，并给出最佳性构造及长度不同圈数的下界，解决相关猜想。
AI中文摘要：
多部竞赛图是完全多部图的一个定向。我们证明了当$c\ge93$时，每个具有共同部集基数$\alpha$的$r$-正则$c$-部竞赛图是$4$-弧泛圈的；即每条弧都属于从长度4到$c\alpha$的每个长度的圈。这证实了Zhou和Zhang对所有充分大的$c$的猜想，并提供了Alspach弧泛圈定理的多部类比。此外，我们还给出了一个构造来表明$4$-弧泛圈是最佳可能的。接下来，我们证明当$c\ge7$且$\alpha\ge2$时，每条弧至少属于$c\alpha-\alpha-1$个两两长度不同的圈。对于具有共同部集基数$\alpha\ge2$的正则$3$-部竞赛图，我们得到了锐下界$\alpha$，解决了Xia、Cai、Guo和Wang猜想中剩余的情况。
英文摘要：
A multipartite tournament is an orientation of a complete multipartite graph. We prove that every $r$-regular $c$-partite tournament with common partite-set cardinality $α$ is $4$-arc-pancyclic whenever $c\ge93$; that is, every arc belongs to a cycle of each length from $4$ to $cα$. This confirms the conjecture of Zhou and Zhang for all sufficiently large $c$ and provides a multipartite analog of Alspach's arc-pancyclicity theorem. Moreover, we also give a construction to show that 4-arc-pancyclic is the best possible. Next, we prove that every arc belongs to at least $cα-α-1$ cycles of pairwise distinct lengths when $c\ge7$ and $α\ge2$. For regular $3$-partite tournaments with common partite-set cardinality $α\ge2$, we obtain the sharp lower bound $α$, settling the remaining case of a conjecture of Xia, Cai, Guo, and Wang.
