广义弗林特山级数的临界收敛性与豪斯多夫测度
Critical convergence and Hausdorff measures for generalized Flint Hills series
- Danlab, Faculty of Informatics, Matsuyama University（松山大学信息学部丹实验室）
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中文总结 AI 辅助
本文研究广义弗林特山级数的发散集维数，确定临界指数处的收敛与发散行为，并证明测度律，部分证实迈伯格猜想。
中文摘要 AI 辅助
我们研究广义弗林特山级数 $\mathcal{F}_{s,t}(x)=\sum_{n\ge1} n^{-s}|\sin(\pi nx)|^{-t}$，其中 $s>0$ 且 $t>1$。通过与连分数分母级数的显式比较，我们得到其发散集的豪斯多夫维数为 $\min\{1,2t/(s+t)\}$。在每个临界指数 $\tau=1+s/t>2$ 处，我们构造了无理指数为 $\tau$ 的数，这些数同时实现收敛与发散；其中收敛的例子在 $t>1$ 范围内证实了迈伯格猜想。临界纤维的两部分都具有豪斯多夫维数 $2/\tau$。对于 $s>t$ 且 $h_\kappa(r)=r^{2/\tau}(\log(1/r))^\kappa$，我们证明发散集的 $h_\kappa$-测度在 $\kappa<-1$ 时为零，在 $\kappa\ge-1$ 时为无穷。临界纤维的发散部分满足相同规律，而其收敛部分对每个 $\kappa$ 都具有无穷测度。关键估计选取收敛分母的快速递增子序列，并给出逼近误差的双对数界。经典弗林特山级数 $\sum_{n\ge1}(n^3\sin^2 n)^{-1}$ 的收敛性仍未解决。
英文摘要
We study the generalized Flint Hills series $\mathcal{F}_{s,t}(x)=\sum_{n\ge1} n^{-s}|\sin(πnx)|^{-t}$ for $s>0$ and $t>1$. An explicit comparison with a series over continued-fraction denominators yields the Hausdorff dimension $\min\{1,2t/(s+t)\}$ of its divergence set. At each critical exponent $τ=1+s/t>2$ we construct numbers of irrationality exponent $τ$ realizing both convergence and divergence; the convergent examples establish Meiburg's conjecture in the range $t>1$. Both parts of the critical fibre have Hausdorff dimension $2/τ$. For $s>t$ and $h_κ(r)=r^{2/τ}(\log(1/r))^κ$ we prove that the divergence set has zero $h_κ$-measure for $κ<-1$ and infinite measure for $κ\ge-1$. The divergent part of the critical fibre satisfies the same law, whereas its convergent part has infinite measure for every $κ$. The key estimate selects a rapidly growing subsequence of convergent denominators and gives a double-logarithmic bound on the approximation error. The convergence of the classical Flint Hills series $\sum_{n\ge1}(n^3\sin^2 n)^{-1}$ remains undecided.
