性质 $(T)$ 与映射类群商群的非线性
Property $(T)$ and nonlinearity of mapping class group quotients
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中文总结 AI 辅助
本文提出一种结合仿射实现、压缩论证和幂零正规子群永久性的方法，证明Torelli下中心商群及自同构群商群具有性质$(T)$，并得出其非线性结论。
中文摘要 AI 辅助
我们给出了一种证明商群 $G/K_{[c+1]}$ 具有Kazhdan性质 $(T)$ 的一般方法，其中 $G$ 是可数群，$K$ 是正规子群，$K_{[j]}$ 表示其下中心级数。该方法结合了 $G/[K,K]$ 的仿射实现、压缩论证以及幂零正规子群的永久性。我们将其应用于 $g\ge3$ 的Torelli下中心商群 $\mathrm{Mod}(\Sigma_g)/(\mathcal{T}_g)_{[c+1]}$，并证明它们对每个 $c\ge1$ 都具有性质 $(T)$。我们还证明了 $\mathrm{Aut}(F_3)/(\mathrm{IA}_3)_{[c+1]}$ 对每个 $c\ge1$ 具有性质 $(T)$，并将这些群与Lubotzky和Pak研究的驯服幂零像联系起来。对于 $g\ge3$ 且 $c\ge2$ 的Torelli下中心商群，每个有限维复表示都有无限核，并且这些商群在任何域上都不是线性的。
英文摘要
We give a general method for proving Kazhdan's property $(T)$ for quotients $G/K_{[c+1]}$, where $G$ is countable, $K$ is a normal subgroup and $K_{[j]}$ denotes its lower central series. The method combines an affine realization of $G/[K,K]$, a contraction argument, and permanence for nilpotent normal subgroups. We apply it to the Torelli lower-central quotients $\mathrm{Mod}(Σ_g)/(\mathcal{T}_g)_{[c+1]}$ for $g\ge3$ and show that they have property $(T)$ for every $c\ge1$. We also prove property $(T)$ for $\mathrm{Aut}(F_3)/(\mathrm{IA}_3)_{[c+1]}$ for every $c\ge1$, relating these groups to the tame nilpotent images studied by Lubotzky and Pak. For the Torelli lower-central quotients with $g\ge3$ and $c\ge2$, every finite-dimensional complex representation has infinite kernel, and these quotients are not linear over any field.
